高中奧林匹克物理競賽解題方法三微元法-wenkub
2023-01-29 09:43:34 本頁面
【正文】 端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F 。）例4：如圖3—4所示，長為L的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m ，船的質(zhì)量為M ，不計水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？解析：取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動過程中，系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動量守恒。解析：此題可根據(jù)萬有引力提供行星的向心力求解。試求鐵鏈A端受的拉力T 。設(shè)燈距地面高為H ，求證人影的頂端C點是做勻速直線運(yùn)動。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解。解析：該題不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。解析：以鐵鏈為研究對象，由由于整條鐵鏈的長度不能忽略不計，所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點，要分析鐵鏈的受力情況，須考慮將鐵鏈分割，使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì)點，分析每一小段鐵邊的受力，根據(jù)物體的平衡條件得出整條鐵鏈的受力情況。也可根據(jù)開普勒第二定律，用微元法求解。設(shè)人在走動過程中的Δt時間內(nèi)為勻速運(yùn)動，則可計算出船的位移。在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為Δm作為研究對象，進(jìn)行受力分析。先看俯視圖3—5—甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，Δm所對的圓心角是Δθ ，則每一小段的質(zhì)量：Δm =MΔm在該平面上受拉力F的作用，合力為：T = 2Fcos= 2Fsin因為當(dāng)θ很小時，sinθ≈θ ，所以：T = 2F= FΔθ ①再看正視圖3—5—乙，Δm受重力Δmg ，支持力N ，二力的合力與T平衡。如圖3—6所示，在圓環(huán)上取一小段ΔL ，對應(yīng)的圓心角為Δθ ，其質(zhì)量可表示為Δm =M ，受圓環(huán)對它的張力為T ，則同上例分析可得：2Tsin= Δmrω2因為Δθ很小，所以：sin≈，即：2T=M rω2解得最大角速度：ω =例7：一根質(zhì)量為M ，長度為L的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖3—7所示，求鏈條下落了長度x時，鏈條對地面的壓力為多大？解析：在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實質(zhì)就是鏈條對地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力。設(shè)開始下落的時刻t = 0 ，在t時刻落在地面上的鏈條長為x ，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v ，并設(shè)鏈條的線密度為ρ 。所以在t時刻鏈條對地面的總壓力為：N = 2ρgx + ρgx = 3ρgx =例8：一根均勻柔軟的繩長為L ，質(zhì)量為m ，對折后兩端固定在一個釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點離釘子的距離為x時，釘子對繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化，由此可用微元法求解。因為盤與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小相等，又因為繩上各點受的支持力方向不同，故不能以整條繩為研究對象，只能以一小段繩為研究對象分析求解。如圖3—10所示，過切點作直線交大小圓分別于P 、Q兩點，并設(shè)與水平線夾角為α ，當(dāng)α有微小增量時，則大小圓環(huán)上對應(yīng)微小線元：ΔL1 = R2Δα ，ΔL2 = r2Δα其對應(yīng)的質(zhì)量分別為：Δm1 = ρ1Δl1 =ρ1R2Δα ，Δm2 = ρ2Δl2 =ρ2r2Δα由于Δα很小，故Δm1 、Δm2與m的距離可以認(rèn)為分別是：r1 = 2Rcosα ，r2 = 2rcosα所以Δm1 、Δm2與m的萬有引力分別為：ΔF1 ==，ΔF2 ==由于α具有任意性，若ΔF1與ΔF2的合力為零，則兩圓環(huán)對m的引力的合力也為零， 即：=解得大小圓環(huán)的線密度之比為：=例11：一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動機(jī)的功率是多少？解析：火箭噴氣時，要對氣體做功，取一個很短的時間，求出此時間內(nèi)，火箭對氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動機(jī)的功率。OC =，O′C′=，因此：OC + O′C′= ①因Δα極小，所以EC′≈ED′，EC≈ED ，從而：OD + O′D′≈OO′－CC′ ②由于繩子總長度不變，故：OO′－ CC′= O′C′ ③由以上三式可得：OC + O′C′=，即：OC = O′C′(－1)等式兩邊同除以Δt得環(huán)O的速度為：v0 = v(－1)例13： 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀（側(cè)面向外凸出），過圓餅軸線的豎直截面如圖3—12所示，為了計算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180176?，F(xiàn)用微元法求解。例14：把一個容器內(nèi)的空氣抽出一些，壓強(qiáng)降為p ，容器上有一小孔，上有塞子，現(xiàn)把塞子拔掉，如圖3—13所示。解析：帶電圓環(huán)產(chǎn)生的電場不能看做點電荷產(chǎn)生的電場，故采用微元法，用點電荷形成的電場結(jié)合對稱性求解?，F(xiàn)將此環(huán)平放在絕緣的光
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