高中奧林匹克物理競賽解題方法三微元法-文庫吧
2024-12-30 09:43 本頁面
【正文】 分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系。從正面和上面觀察，分別畫出正視圖的俯視圖，如圖3—5—甲和2—3—5—乙。先看俯視圖3—5—甲，設(shè)在彈性繩圈的平面上，Δm所對(duì)的圓心角是Δθ ，則每一小段的質(zhì)量：Δm =MΔm在該平面上受拉力F的作用，合力為：T = 2Fcos= 2Fsin因?yàn)楫?dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ ，所以：T = 2F= FΔθ ①再看正視圖3—5—乙，Δm受重力Δmg ，支持力N ，二力的合力與T平衡。即：T = Δmgtanθ現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為：r ==R所以：sinθ ==，θ = 45176。，tanθ = 1因此：T = Δmg =Mg ②將①、②聯(lián)立，有：Mg = FΔθ ，解得彈性繩圈的張力為：F =設(shè)彈性繩圈的伸長量為x ，則：x =πR－πR = (－1) πR所以繩圈的勁度系數(shù)為：k ===例6：一質(zhì)量為M 、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r ，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度。解析：因?yàn)橄蛐牧 = mrω2 ，當(dāng)ω一定時(shí)，r越大，向心力越大，所以要想求最大張力T所對(duì)應(yīng)的角速度ω ，r應(yīng)取最大值。如圖3—6所示，在圓環(huán)上取一小段ΔL ，對(duì)應(yīng)的圓心角為Δθ ，其質(zhì)量可表示為Δm =M ，受圓環(huán)對(duì)它的張力為T ，則同上例分析可得：2Tsin= Δmrω2因?yàn)棣う群苄?，所以：sin≈，即：2T=M rω2解得最大角速度：ω =例7：一根質(zhì)量為M ，長度為L的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖3—7所示，求鏈條下落了長度x時(shí)，鏈條對(duì)地面的壓力為多大？解析：在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)地面的“沖力”加上落在地面上那部分鏈條的重力。根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻地面對(duì)鏈條的反作用力，這個(gè)力的沖量，使得鏈條落至地面時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化。由于各質(zhì)元原來的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同。我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一小段鏈條（微元）作為研究對(duì)象，就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊。設(shè)開始下落的時(shí)刻t = 0 ，在t時(shí)刻落在地面上的鏈條長為x ，未到達(dá)地面部分鏈條的速度為v ，并設(shè)鏈條的線密度為ρ 。由題意可知，鏈條落至地面后，速度立即變?yōu)榱?。從t時(shí)刻起取很小一段時(shí)間Δt ，在Δt內(nèi)又有ΔM = ρΔx落到地面上靜止。地面對(duì)ΔM作用的沖量為：(F－ΔMg) Δt = ΔI因?yàn)棣gΔt≈0 ，所以：FΔt = ΔMv－0 = ρvΔx ，解得沖力：F = ρv，其中就是t時(shí)刻鏈條的速度v ，故F = ρv2 ，鏈條在t時(shí)刻的速度v即為鏈條下落長為x時(shí)的即時(shí)速度，即：v2 = 2gx代入F的表達(dá)式中，得：F = 2ρgx此即t時(shí)刻鏈對(duì)地面的作用力，也就是t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的沖力。所以在t時(shí)刻鏈條對(duì)地面的總壓力為：N = 2ρgx + ρgx = 3ρgx =例8：一根均勻柔軟的繩長為L ，質(zhì)量為m ，對(duì)折后兩端固定在一個(gè)釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點(diǎn)離釘子的距離為x時(shí)，釘子對(duì)繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對(duì)繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化，由此可用微元法求解。如圖3—8所示，當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為x時(shí)，左邊繩長為(l－x) ，速度v =，右邊繩長為(l+x)又經(jīng)過一段很短的時(shí)間Δt以后，左邊繩子又有長度vΔt的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了，我們就分析這一小段繩子，這一小段繩子受到兩力：上面繩子對(duì)它的拉力T和它本身的重力vΔtλg（λ =為繩子的線密度）根據(jù)動(dòng)量定理，設(shè)向上方向?yàn)檎?，有?T－vΔtλg ) Δt = 0－(－vΔtλv)由于Δt取得很小，因此這一小段繩子的重力相對(duì)于T來說是很小的，可以忽略，所以有：T =v2λ = gxλ因此釘子對(duì)右邊繩端的作用力為：F =(l + x)λg + T =mg(1 +)例9：圖3—9中，半徑為R的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動(dòng)，細(xì)繩不可伸長但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M 、m 。設(shè)圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對(duì)繩的法向支持力線密度。解析：求盤對(duì)繩的法向支持力線密度也就是求盤對(duì)繩的法向單位長度所受的支持力。因?yàn)楸P與繩間光滑接觸，則任取一小段繩，其兩端受的張力大小相等，又因?yàn)槔K上各點(diǎn)受的支持力方向不同，故不能以整條繩為研究對(duì)象，只能以一小段繩為研究對(duì)象分析求解。在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元ΔL ，ΔL所對(duì)應(yīng)的圓心角為Δθ ，如圖3—9—甲所示，繩元ΔL兩端的張力均為T ，繩元所受圓盤法向支持力為ΔN ，因細(xì)繩質(zhì)量可忽略，法向合力為零，則由平衡條件得：ΔN = Tsin+ Tsin= 2T當(dāng)Δθ很小時(shí)，sin≈，故ΔN = TΔθ 。又因?yàn)?ΔL = RΔθ ，則繩所受法向支持力線密度為：n === ①以M 、m分別為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓定律有：Mg－T = Ma ②T－mg = ma
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