【正文】 )(?xyR)()( ?? ?? yxxy RR)0()0()( yxxy RRR ??0)]()([)0( ?? tXtXER xx ??()Xt ()Xt3. 功率譜密度函數(shù) ?相關(guān)函數(shù)給出隨機(jī)過程在時(shí)差域內(nèi)的統(tǒng)計(jì)特性，而功率譜密度則是在頻率域內(nèi)表示隨機(jī)振動過程在各頻率成分上的統(tǒng)計(jì)特性。 ? (3) ，時(shí)差 為零時(shí)隨機(jī)過程的自相關(guān)程度最大。 ?當(dāng)均值為零時(shí)，方差等于均方值。 2．相關(guān)函數(shù) ?式 ()定義的自相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)變量在不同時(shí)刻之間相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。 在 和 時(shí)刻構(gòu)成兩個(gè)隨機(jī)變量 和 ，對各樣本 和 的乘積取集合平均，得到 ? () ? 稱作隨機(jī)過程 在 和 時(shí)刻的自相關(guān)函數(shù)，它既是時(shí)間差 的函數(shù)，也與時(shí)刻 有關(guān)。 ?在任一采樣時(shí)刻，隨機(jī)過程的各個(gè)樣本值都不相同，構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)變量。在同樣條件下重復(fù)同樣的試驗(yàn)。對激勵(lì)與響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性相互關(guān)系的研究是隨機(jī)振動的重要內(nèi)容。它們的共同特征是激勵(lì)和響應(yīng)事先不能用時(shí)間的確定函數(shù)描述。第六章 隨 機(jī) 振 動 ?前面各章討論的振動，其激勵(lì)和響應(yīng)都是時(shí)間的確定函數(shù)。這種具有不確定性的振動過程稱作隨機(jī)振動。 ?在介紹工程中幾種典型隨機(jī)振動問題之后，本章著重討論線性多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)在單個(gè)和多個(gè)隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)，主要采用功率譜密度方法在頻率域內(nèi)進(jìn)行。 ?例如：在同樣道路同樣車速條件下進(jìn)行 n次汽車道路試驗(yàn)，記錄下汽車大梁上某個(gè)點(diǎn)應(yīng)力的時(shí)間歷程。各個(gè)值之所以不同，是由于路面的不規(guī)則性等許多不確定因素影響的結(jié)果，對于隨機(jī)過程的研究興趣不在于樣本函數(shù)本身，而在于總體的統(tǒng)計(jì)特性。 )( 1tx? )(tX1t 1t ??1t)( 1tX )( 1 ??tX)( 1txk )(1 ??tx k1 1 1 111( , ) [ ( ) ( ) ]1l i m ( ) ( )xkknR t t E X t X tx t x tn?????? ? ???),( 11 ??ttR x ()Xt1t??1t?1t?如果隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)與采樣時(shí)刻 無關(guān)，則稱隨機(jī)過程為 (弱 )平穩(wěn)過程，對于平穩(wěn)過程，均值為常數(shù) ? () ?而自相關(guān)函數(shù)僅依賴時(shí)差 ? () 1txx t ?? ?)()(),( 11 ?? xx RttR ???如果平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值和自相關(guān)函數(shù)可以用任何一個(gè)充分長的樣本函數(shù)的時(shí)間平均值來計(jì)算，即 ? () ? () ?則稱此平穩(wěn)過程為 (弱 )遍歷過程。 =0時(shí)的自相關(guān)函數(shù) 稱為隨機(jī)過程的均方值，用 表示 ? （ .7） ?若 X表示位移、速度或電流，則均方值相應(yīng)地與系統(tǒng)的勢能、動能或功率成比例。 稱作標(biāo)準(zhǔn)差。 ? (4) ，自相關(guān)函數(shù)為時(shí)差 的衰減函數(shù)，當(dāng) 時(shí)趨于均值的平方 (圖 )。定義平穩(wěn)隨機(jī)過程 的功率譜密度函數(shù)為自相關(guān)函數(shù) 的傅里葉變換，即 ? () ()Xt)(?xR??? ?? deRS ixx ?????? )()(?其逆變換為 ? () ?以上兩式構(gòu)成傅里葉變換對，稱作維納 — 辛欽 (Wiener— X )關(guān)系式。由于在電學(xué)中電壓或電流的平方與功率成正比，因此將 稱作功率譜密度函數(shù)，或簡稱自譜。工程中實(shí)測得到的功率譜僅對 的正值有定義，稱作單邊功率譜，記作 ， ? () ?計(jì)算功率譜時(shí)通常用頻率 代替角頻率 (rad/s)，上式可寫作 ? )(?xS?)(?xG)0( )(2)( ???? ??? xx SG)(Hzf?)()(4)(2)( ?? xxx SfSfG ???維納 — 辛欽關(guān)系式 (. 11)和 ()相應(yīng)地改寫為 ? () ? () ?? ?? deRfS fixx 2)()( ??????dfefSR fixx ???? 2)(21)( ??????隨機(jī)過程 的導(dǎo)數(shù)過程 的功率譜密度可以證明為 ? （ ） ?同樣有 ? （ ） ()Xt ()Xt)()( 2 ??? xx SS ??)()()( 39。 )(?xyS)( ),()()( ???? ????? yxyxyxxy SSSS)(?yxS)()()( 2 ??? yxxy SSS ??利用此性質(zhì)可定義量綱一的相干函數(shù)為 ? （ ） ?且有 ? () )()()()(22?????yxxyyx SSS?1)(0 2 ?? ?? xy4. 窄帶過程、寬帶過程和理想白噪聲 ?根據(jù)功率譜密度分布的不同頻率范圍，可將隨機(jī)過程區(qū)分為窄帶過程和寬帶過程。時(shí)間差 稍大一些其相關(guān)程度迅速降低 (圖 )。 ?若在足夠?qū)挼挠邢揞l帶上功率譜密度分布比較均勻，則可將此過程近似地當(dāng)作理想白噪聲以簡化計(jì)算。 P(x)為單調(diào)升函數(shù)，具有下列性質(zhì) ? （ ） ( 6 . 1 . 3 3 ) ])([)( xtXPxP r ??1)(,1)(0,0)( ??????? PxPP?定義一維概率密度函數(shù)為 ? （ ） ? X(t)的值在 和 之間的概率可用概率密度函數(shù)表示為（ 圖 ） ? （ ） dtxdPxxPxxPxpx)()()(l i m)(0?? ??????2x1xdxxpxxxPxxr)()( 2121 ???? ? 圖 概率與概率密度函數(shù) ?則概率分布函數(shù)也可定義為 ? （ ） ?概率密度函數(shù)具有下列性質(zhì) ? （ ） dxxpxP x )()( ????1)(,0)(l i m,0)( ??? ? ??????dxxpxpxPx?前面定義的均值 可用概率密度函數(shù) p(x)表示為 ? （ ） ?即隨機(jī)變量 X(t)的一次矩，其幾何意義為 p(x)曲線與 x軸所圍面積形心的 x坐標(biāo) (圖 ),前面定義的均方值 為 X(t)的二次矩， ? （ ） x?dxxxpxEx )(][ ? ??????2x?dxxpxx )(22 ? ??????前面定義的方差為 X(t)相對于均值的二次矩，即二次中心矩， ? （ ） 2222 )()(xxxx dxxpx ???? ???? ????? (2)聯(lián)合概率密度函數(shù) ? 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程 X(t)和 Y(t)，在給定時(shí)刻 t構(gòu)成兩個(gè)隨機(jī)變量。F ? p(x)在無限域上的積分等于 1，但在 的 鄰域內(nèi)的積分等于 ，接近為 1。 ?在實(shí)踐中如果影響隨機(jī)變量的因素很多，且每一種因素的影響都很小，就可以近似地認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量是正態(tài)分布。 ?正態(tài)過程最重要的特點(diǎn)是經(jīng)過線性運(yùn)算之后仍為正態(tài)過程。 x?? ? nn txEntxE )]([)12(531)]([ 22 ?????? ?62 工程中的隨機(jī)振動問題 ? 1．不平路面上行駛的車輛 ? 將車輛簡化為單自由度質(zhì)量 — 彈簧 — 阻尼系統(tǒng)，由于路面不平引起接觸處的位移激勵(lì) (圖 )，動力學(xué)方程為 ? () )(1 tx11 kxxckxxcxm ???? ???? ?圖 不平路面上的車輛 ?實(shí)際量測表明，路面沿縱向路程 s的不平度h(s)是局部均勻的、具有零均值的、遍歷的高斯隨機(jī)場。 ?將式 ()中的 k代入后得到的功率譜密度與速度 v有關(guān) ? () ?, ??nnnx vS??? ??? 1)(1?若將汽車懸掛裝置的上下部分質(zhì)量分別考慮，則可將車輛簡化為串聯(lián)質(zhì)量的二自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動問題。關(guān)于波高功率譜密度的計(jì)算，國際上廣泛采用的公式為 ? () ?式中 為重力加速度， 為名義波高，與風(fēng)速有關(guān)。 )( tMkcJ ??? ??? ??? ?圖 海浪的波高功率譜密度 ? M(t)的功率譜密度 與波高功率譜密度、船舶的吃水深度、尺寸、形狀及水動力學(xué)等因素有關(guān)。 )(?MS? 3． 地震載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動 ? 重要的建筑物如原子能反應(yīng)堆、水壩、橋梁等必須將地震載荷作為重要的設(shè)計(jì)載荷。 ?圖 建筑