證明不等式的基本方法知識(shí)歸納課件人教a選修-wenkub
2023-01-22 08:22:00 本頁面
【正文】 3－ 216 x4 x ? x ＋ 5 ?2. 令 l ( x ) ＝ ( x ＋ 5)3－ 216 x, 1 x 3 ， l′ ( x ) ＝ 3( x ＋ 5)2－ 216 0 ， 因此 l ( x ) 在 (1,3) 內(nèi)是遞減函數(shù)，又由 l (1) ＝ 0 ，得 l ( x )0 ，所以 h ′ ( x )0. 因此 h ( x ) 在 ( 1,3) 內(nèi)是遞減函數(shù)，又由 h (1) ＝ 0 ，得 h ( x )0. 于是當(dāng) 1 x 3 時(shí)， f ( x )9 ? x － 1 ?x ＋ 5. 法二 ： 記 h ( x ) ＝ ( x ＋ 5) f ( x ) － 9( x － 1) ， 則當(dāng) 1 x 3 時(shí)， 由 ( 1) 得 h ′ ( x ) ＝ f ( x ) ＋ ( x ＋ 5) f ′ ( x ) － 9 32( x － 1) ＋ ( x ＋ 5) (1x＋12 x) － 9 ＝12 x[3 x ( x － 1) ＋ ( x ＋ 5) ( 2 ＋ x ) － 18 x ] 12 x[3 x ( x － 1) ＋ ( x ＋ 5) ( 2 ＋x2＋12) － 18 x ] ＝14 x(7 x2－ 32 x ＋ 25 ) 0 ， 因此 h ( x ) 在 ( 1,3 ) 內(nèi)單調(diào)遞減， 又 h ( 1) ＝ 0 ，所以 h ( x ) 0 ， 即 f ( x )9 ? x － 1 ?x ＋ 5. 比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是： ① 作差； ② 恒等變形； ③ 判斷結(jié)果的符號(hào)； ④ 下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． [ 例 1] 已知 b ， m 1 ， m 2 都是正數(shù)， a b ， m 1 m 2 ，求證：a ＋ m 1b ＋ m 1a ＋ m 2b ＋ m
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