遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(5)-wenkub
2022-11-01 02:04:23 本頁面
【正文】 C? ? ?此解可以寫成 321213y x C x C? ? ?分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含 y所以可引入變量 將二階微分方程變成一階微分微分方程，然后根據(jù)一階微分方程的特點(diǎn)求解。 x解：由于不顯含 ()y p y? ? y pp?? ??x ,令 ,則 代入原方程整理得 2 0y pp p? ??所以 0p? 或 0yp p? ??當(dāng) 0yp p? ?? 時(shí)，此方程為可分離變量的方程， 分離變量得： dp dypy??【 例 3】 求方程 2( ) 0y y y?? ??? 滿足初始條件 012xy ?? ?的特解。 (3)若 1 1 2 2Y C y C y??是齊次方程的通解， *y 是非齊次方程的特解， 則 *Yy? 是非齊次方程的通解。 *Yy?解題方法流程圖如下圖所示 。 分析：此為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，由解的結(jié) 構(gòu)，先求出對(duì)應(yīng)齊次的通解，再求出其本身的一個(gè)特解 . 解：所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程， 它的特征方程 2 3 2 0rr? ? ?解得兩個(gè)不同的實(shí)根 121 , 2rr??故齊次方程的通解為 212xxY C e C e??由于 是 型 (其中 )，且 ( ) 5fx? () xmP x e? ( ) 5 , 0mPx ??? 0??不是特征方程根，所以應(yīng)設(shè)特解 0*y ae a?? ，求出 ( ) , ( )yy??? ?? 把它們代入原方程，得 52a ?得非齊次方程的通解為 21252xxy Y y C e C e?? ? ? ? ?將初始條件 ( 0) 1 , ( 0) 2yy ??? 代入，有 12125 1222CCCC? ? ? ???? ???解得 1275,2CC? ? ?所求的特解為 275522xxy e e? ? ? ?【 例 6】 求微分方程 3 2 3 xy y y x e ??? ?? ? ?的通解 解：所給的方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程， 它的特征方程為 2 3 2 0rr? ? ?解得兩個(gè)不同的實(shí)根 121 , 2rr? ? ? ?故齊次方程的通解為 212xxY C e C e????由于 是 型 ( ) 3 xf x xe ?? () xmP x e?（其中 ） ( ) 3 , 1mP x x ?? ? ?且 是特征方程的單根， 1??? 所以應(yīng)設(shè)特解 0 0 12 2 3b x b b x? ? ?解之，得 013 ,32bb? ? ?由此求得一個(gè)特解為 比較等式兩邊的系數(shù)，得 0 0 12 3 , 2 0b b b? ? ?22123+ ( 3 )2x x xy Y y C e C e x x e? ? ? ?? ? ? ? ?01* ( ) xy x b x b e ???求出 把它們代入原方程，得 ( ) , ( )yy??? ??【 例 7】 求微分方程 2 5 sin 2xy y y e x?? ?? ? ? 的通解 解：特征方程為 2 2 5 0rr? ? ? ，其根為 1 ,2 1 2 ri??故齊次方程的通解為 12( c o s 2 s i n 2 )xY e C x
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