遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(5)(已修改)
2024-10-29 02:04 本頁(yè)面
【正文】 第十二章 微分方程習(xí)題課（二） 高階微分方程 一、可降階的高階微分方程 1．高階微分方程的定義 39。 39。39。 ( )( , , , , ) 0nF x y y y ?2．可降階的高階微分方程類型 (1) () ()ny f x?(2) ( , )y f x y?? ??(3) ( , )y f y y?? ??3．可降階的高階微分方程的解題方法流程圖 可降階的高階微分方程，是通過引入變量進(jìn)行降階，轉(zhuǎn)化為成一階微分方程，通過判定一階微分方程的類型，求出通解。解題方法流程圖如下圖所示 。 解題方法流程圖 逐次積分 ),( yxfy ????解一階微分方程 解一階微分方程 ),( yyfy ????可降階的高階微分方程 )()( xfy n ?特點(diǎn) :不顯含 y轉(zhuǎn)化為一階方程 ),( pxfp ??特點(diǎn) :不顯含 x),( ncccxy ?21??通解 Yes No 令 )( xPy ?? 令 )( yPy ??轉(zhuǎn)化為一階方程 ),( Pyfpp ??4. 典型例題 【 例 1】 求方程 的通解。 2x y y x?? ???解：由于不顯含 ，令 ，則 y ()y p x? ? yp?? ??代入原方程整理得 2 1x p px? ? ? 即 ( ) 1px ? ?因此 2y p C x x? ? ? ?再積分一次，即得原方程的通解為 ： 2321123y Cx x C? ? ?此解可以寫成 321213y x C x C? ? ?分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含 y所以可引入變量 將二階微分方程變成一階微分微分方程，然后根據(jù)一階微分方程的特點(diǎn)求解。 ()y p x? ?【 例 2】 求方程 ( 1 ) l n ( 1 )x y y x?? ?? ? ? ?的通解。 分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含 y所以可引入變量 ()y p x? ? 將二階微分方程變成一階 一階微分方程，然后根據(jù)一階微分方程的特點(diǎn)求解 。 解：由于不顯含 ，令 ()y p x? ? ，則 yp?? ??y代入原方程整理得 ( 1 ) l n ( 1 )x p p x?? ? ? ?即 ln( 1 )11pxpxx?? ????為一階線性微分方程 利用公式得 111ln ( 1 )()1dx dxxx xp e e dx Cx? ?? ???????ln ( 1 ) ln ( 1 )1ln( 1 )()1xx xe e d x Cx? ? ??????11 ( ln ( 1 ) )1 x dx Cx? ? ?? ?1ln( 1 ) 11Cxx? ? ? ? ?即 1ln ( 1 ) 11Cyxx? ? ? ? ? ?積分得 12( ) ln( 1 ) 2y x C x x C? ? ? ? ?分析：此方程為可降階的二階微分方程，由于不顯含 所以可引入變量 ()y p y? ? 將二階微分方程變成一階 微分方程，然后根據(jù)一階微分方程的特點(diǎn)求解 。 x解：由于不顯含 ()y p y? ? y pp?? ??x ,令 ,則 代入原方程整理得 2 0y pp p? ??所以 0p? 或 0yp p? ??當(dāng) 0yp p? ?? 時(shí)，此方程為可分離變量的方程， 分離變量得： dp dypy??【 例 3】 求方程 2( ) 0y y y?? ???
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1