第3章離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析——傅里葉變換-wenkub
2022-10-22 13:40:37 本頁面
【正文】 換 設(shè)離散時(shí)間非周期信號(hào)為 x(n)，則 x(n)的序列傅里葉變 換 (DTFT)為： 正變換 ： 逆變換： [ ( ) ] ( ) ( )j j nnD TF T x n X e x n e????? ? ??? ?1[ ( ) ] ( ) ( )2j j j nI D T F T X e x n X e e d?? ? ?? ?? ??? ?記為 ( ) ( )F jx n X e ?? ?? 其中 稱為信號(hào)序列的頻譜。 非周期序列傅里葉變換的性質(zhì) 設(shè) 1 1 2 2[ ( ) ] ( ) , [ ( ) ] ( ) ,jjD TF T x n X e D TF T x n X e????則 1 2 1 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )jjD TF T a x n b x n a X e b X e??? ? ? 設(shè) [ ( ) ] ( )jD T F T x n X e ?? 則 00[ ( ) ] ( )jn jD TFT x n n e X e? ????第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 [ ( ) ] ( )jD T F T x n X e ??設(shè) ，則 **[ ( ) ] ( )jD T F T x n X e ??? 共軛對稱序列： 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足 xe(n)=xe*(n) 則稱序列為共軛對稱序列。39。 5( ) ( )x n R n? ()xn()xn ()xn解： 299101000( ) [ ( ) ] ( ) ( ) j n knknnX k D F S x n x n W x n e???? ? ???224 2 2 21 0 50 5 1 0 1 0 1 0s in1 ( ) 2s in1 ( )10j k j k j kjkj n k j kj k j k j k j knke e e eeeke e e e? ? ??? ?? ? ? ????????? ? ????? ? ? ????第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 ? ?? ?1122( ) ( )( ) ( )X k D F S x nX k D F S x n??? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )D F S a x n b x n a X k b X k? ? ?(1)線性 如果 則有 (2)移位 ? ?( ) ( )D F S x n X k?? ?2( ) ( )()mkNj m kND F S x n m W X ke X k?????則有： 如果 第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 (3)調(diào)制特性 設(shè) 是周期為 N的周期序列，則 ( ) ( )mnND F S W x n X k m?? ????()xn(4)周期卷積和 12( ) ( ) ( )Y k X k X k?若 則有： 111 2 2 100( ) [ ( ) ]( ) ( ) ( ) ( )NNmmy n I D F S Y kx m x n m x m x n m?????? ? ? ???記作： 12( ) ( ) * ( )y n x n x n?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 35 兩個(gè)周期序列 N=6序列 和 如圖 (a),(b)所示，求 他們的卷積和 。 (( ))Nn例如： ()xn 是周期為 N=8的序列，則有 888( 8 ) ( ( 8 ) ) ( 0 )( 9 ) ( ( 9 1 1 8 ) ) ( 1 )( 4 ) ( ( 4 4 1 8 ) ) ( 4 )x x xx x xx x x??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 有限長序列的傅里葉變換的定義： (DFT) 正變換： 反變換： 10( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , .. ., 1NnkNnX k D F T x n x n W k N??? ? ? ??101( ) [ ( ) ] ( ) , 0 , 1 , .. ., 1N nkNnx n I D F T X k X k W n NN???? ? ? ??例 36 已知 ，求 x(n)的 8點(diǎn) DFT和 16點(diǎn) DFT 4( ) ( )x n R n?解： N=8時(shí) 273 2 2 28800 4 8 8 81 ( )( ) ( )1 ()j k j k j kjkj n knkj k j k j k j knne e e eX k x n W ee e e e? ? ?? ?? ? ? ?????? ? ?????? ? ? ?? ???第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 38s in2s in8jkkek????? 0 , 1 , .. ., 7k ?當(dāng) N=16時(shí) 21 5 3 2 4 4 4161600 8 1 6 1 6 1 61 ( )( ) ( )1 ( )j k j k j k j kj n knkj k j k j k j knne e e eX k x n W ee e e e? ? ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ?????? ? ? ?????316s in4s in16jkkek????? 0 , 1 , .. ., 1 5k ?第 3 章 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析 —— 傅里葉變換 例 37 已知 ，求 的 N點(diǎn) DFT。 (2)如果 是有限長序列，點(diǎn)數(shù)為 M，當(dāng)頻率抽樣點(diǎn)數(shù) N小于序列長度 M，即 NM，也會(huì)造成混疊。 ()axn( ) { 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 }axn ? ()axn ()jXe ?()NXk ()NXk()axn()Nxn解：根據(jù)題意和頻率抽樣理論， 和原序列 的關(guān)系 滿足： ()Nxn()axn( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )N N a Nrx n x n R n
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