時(shí)直接證明與間接證明-wenkub
2023-05-25 22:02:26 本頁面
【正文】 ＋ b2)2＝14， ∴1ab≥ 4 ， ∴1a＋1b＋1ab＝a ＋ bab＋1ab＝2ab≥ 8. ∴1a＋1b＋1ab≥ 8. 目錄 【 方法提煉】 ( 1 ) 綜合法是 “ 由因?qū)Ч?” ，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實(shí)性．用綜合法證明題的邏輯關(guān)系是： A ? B 1 ? B 2 ? ?? B n ? B ( A 為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理， B 為要證結(jié)論 ) ，它的常見書面表達(dá)是 “ ∵ ， ∴ ” 或 “ ? ” ． ( 2 ) 利用綜合法證不等式時(shí)，是以基本不等式為基礎(chǔ)，以不等式的性質(zhì)為依據(jù)，進(jìn)行推理論證的．因此，關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配的基本不等式及其不等式的性質(zhì)． 目錄 跟蹤訓(xùn)練 1 ．設(shè) a ， b ， c ＞ 0 ，證明：a2b＋b2c＋c2a≥ a ＋ b ＋ c . 證明： ∵ a ， b ， c ＞ 0 ，根據(jù)基本不等式， 有a2b＋ b ≥ 2 a ，b2c＋ c ≥ 2 b ，c2a＋ a ≥ 2 c . 三式相加： a2b＋b2c＋c2a＋ a ＋ b ＋ c ≥ 2( a ＋ b ＋ c ) ． 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)取等號(hào)． 即a2b＋b2c＋c2a≥ a ＋ b ＋ c . 目錄 考 點(diǎn) 2 分析法 已知 m 0 ， a ， b ∈ R ，求證： (a ＋ mb1 ＋ m)2≤a2＋ mb21 ＋ m. 【證明】 ∵ m 0 ， ∴ 1 ＋ m 0 . 所以要證原不等式成立， 只需證明 ( a ＋ mb )2≤ (1 ＋ m )( a2＋ mb2) ， 即證 m ( a2－ 2 ab ＋ b2) ≥ 0 ， 即證 ( a － b )2≥ 0 ，而 ( a － b )2≥ 0 顯然成立， 故原不等式得證． 例 2 目錄 【名師點(diǎn)評(píng)】 分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法，就證明程序來講，它是一種從未知到已知 ( 從結(jié)論到題設(shè) ) 的邏輯 推理方法．具體地說，即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而最后當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題 ( 定義、公理、定理、法則、公式等 )或要證命題的已知條件時(shí)命題得證． 目錄 跟蹤訓(xùn)練 2 ．已知非零向量 a ⊥ b ，求證：| a |＋ | b || a － b |≤ 2 . 證明： ∵ a ⊥ b ， ∴ a b ＝ 0. 要證| a |＋ | b || a － b |≤ 2 ，只需證： | a |＋ | b |≤ 2 | a － b |， 平方得： | a |
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