華中科技大學(xué)線性代數(shù)第四節(jié)向量空間-wenkub
2023-05-23 10:05:45 本頁面
【正文】 到 的線性變換，稱為 原 線性變換的逆變換 . 若把此逆變換的系數(shù)記 作 ， B 則此逆變換也可以記作 X BY?( ) ( )Y A X A B Y A B Y? ? ?AB 為恒等變換所對應(yīng)的矩陣，故 AB E?( ) ( )X B Y B A X B A X? ? ?因此 BA E?于是有 AB BA E??由此，可得 可見 又 例 1111 22,1 1 1 122AB????????? ?????? ?????,A B B A E??,A B B A E??使得 的逆矩陣記作 ?A二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對于 階矩陣 ，如果有一個(gè) 階矩陣 ， n A BnA則稱矩陣 是 可逆 的， B? A是 的逆矩陣 . B A并把矩陣 稱為 的 逆矩陣 . 若設(shè) 和 是 可逆矩陣， B C A 則有 ,A B B A E A C C A E? ? ? ?B所以 的逆矩陣是唯一的 ,即 A 1 .B C A ???說明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是 唯一 的 . A A證明 于是 例 1 2110A????????設(shè) ,求 的逆 . A解 abBcd???????設(shè) 則 A B B A E? ? ?2110abcd? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?B ???? ????0 1?1 2()CA B? ()C AB? CE? C?EB?22a c b dab???????????1001???????證明 ??1 .A A E? ?，使得 1 1,A A E?? ? ?兩邊求行列式，有 定理 1 若矩陣 可逆，則 ?A1A?A若矩陣 可逆，則 即有 定理 2 矩陣 可逆的充要條件是 ， 且 A 0A ?1 1 ,AAA??? AA?其中 為矩陣 的伴隨矩陣 . 證明 因?yàn)榫仃嚺c其伴隨矩陣有 **A A A A A E??，故有 11A A A A EAA??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?0A ?又因?yàn)? 所以，按逆矩陣的定義，即有 1 1 .AAA???當(dāng) 時(shí)， 稱為 奇異矩陣 ； 0A ? A證明 推論 AB E?若 1BA??BA E?或 ，則 B? ??0A ?當(dāng) 時(shí)， 稱為 非 奇異矩陣 . A奇異矩陣與非奇異矩陣 1A B E? ? ?易知 1A? ??0A ??于是 EB? 1()A A B? 1 ()A A B?? 1AE??AB E?只證 時(shí)， 運(yùn)算規(guī)律 （設(shè)
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