華中科技大學(xué)線性代數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)-wenkub
2023-05-23 10:05:45 本頁面
【正文】 i第 行11 111111ni i nj j j n j nj j nn n naaaaD a A a Aaaaa? ? ? ?把行列式中的 換成 可得 jka ( 1 , , )ika k n?1 1 2 2i j i j i n j na A a A a A? ? ?1i i naa相同 ,if i j?).(,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?命題得證 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ????????? 。,0,1 jijiDDAaijnkkjki 當(dāng)當(dāng)?????????? 。?TDnnaaa?2211行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式 . TD D記 nnaaa?2211???nnaaa21122112nnaaa?D ???2121nnaaa??nnaaa2112一、行列式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 . 證明： （數(shù)學(xué)歸納法） n=1時(shí)，顯然成立； 假設(shè)對 n1階行列式也成立，下證對 n階行列式也成立 1 1 2 21nj j j j n j n j k j k jkD a A a A a A a A?? ? ? ? ? ?（按 j列展開） 1 1 2 21nTi i i i n i n i k i k ikD a A a A a A a A?? ? ? ? ? ?（按 i列展開） nnTi i i i n i n i k i k i i k i kkkD a A a A a A a A a A1 1 2 211??? ? ? ? ? ???nj j j j n j n j k j k jkD a A a A a A a A1 1 2 21?? ? ? ? ? ?因此 11nnk j k jjknD a A??? ??11nnTik ikiknD a A??? ??即結(jié)論成立 Tn D n D?jiA是 DT中原素 j i i jaa()?的代數(shù)余子式， jiM是相應(yīng) 的余子式，且為行列式 D劃去第 i行、第 j列后剩下的元 素組成的 n1階行列式 Mij的轉(zhuǎn)置，即 Tji ijMM ,?由歸納假設(shè) Mij= MijT，故 ji ij ji ijM M A A? ? ?注： 行列式中的 行 與 列 的地位是平等的。,0,1 jijiDDAaijnkjkik 當(dāng)當(dāng)????????.,0,1jijiij 當(dāng)，當(dāng)其中（列） （行） 性質(zhì) 4 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和 . nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD??????????)()()(2122222211111211??
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