【正文】 C( 1) 0 06 9 1 0 02 2 8 2 49 9 9 0 73 C( 2) 3 90 9 0 5 84 7 8 43 .4 19 9 2 0 00 R s qu ared 9 42 0 3 Me an de p en d en t v ar 52 9. 07 8 5 A dj us ted R s qu are d 9 38 8 0 S .D. d ep e nd e nt v ar 49 8. 06 1 2 S .E . of r eg r es s i on 38 .9 62 0 2 A k ai k e i nf o c r i teri on 10 .2 57 6 9 S um s qu ared res i d 27 32 0 S c hw ar z c r i t erio n 10 .3 57 2 6 Lo g l i k el i ho o d 10 76 9 Dur bi n W ats on s tat 8 90 6 4 擬合結(jié)果 0500100015002021250078 80 82 84 86 88 90 92 94 96IIFI F 1I F 2實際觀測值 線性擬合值 非線性擬合值 局部極小擬合值 討論 ? 一般情況下，線性化估計和非線性估計結(jié)果差異不大。用 I表示農(nóng)民純收入總量水平、 Q表示農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模、 P表示農(nóng)副產(chǎn)品收購價格、L表示從事非農(nóng)產(chǎn)業(yè)的農(nóng)村勞動者人數(shù)。 ? 與高斯－牛頓迭代法的區(qū)別 – 直接對殘差平方和展開臺勞級數(shù)，而不是對其中的原模型展開； – 取二階近似值，而不是取一階近似值 。 ? 本節(jié)主要涉及最基礎(chǔ)的、具有廣泛應(yīng)用價值的非線性單方程模型的最小二乘估計。 1 簡單的非線性單方程計量經(jīng)濟模型 167。 2 非線性模型的幾個專門問題 167。 一、非線性單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型概述 ⒈ 解釋變量非線性問題 ? 現(xiàn)實經(jīng)濟現(xiàn)象中變量之間往往呈現(xiàn)非線性關(guān)系 需求量與價格之間的關(guān)系 成本與產(chǎn)量的關(guān)系 稅收與稅率的關(guān)系 基尼系數(shù)與經(jīng)濟發(fā)展水平的關(guān)系 ? 通過變量置換就可以化為線性模型 ⒉ 可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問題 ? 函數(shù)變換 Q AK L? ? ?? 級數(shù)展開 Q A K L? ?? ? ?( )? ?? ? ?1 2 1ln ln l n( ) lnQ A K L? ? ? ?? ?1 1 2? ? ?? ? ?ln ln ln ln ( l n ( )) lnQ A K L KL? ? ? ? ?? ? ?? ? ?1 2 1 2 212ln ln ln ln lnQ A K L? ? ? ?? ? ?⒊ 不可以化為線性的包含參數(shù)非線性的問題 Q AK L? ?? ? ?Q A K L? ? ?? ? ?( )? ? ?? ? ?1 2 1?與上頁的方程比較，哪種形式更合理？ ?直接作為非線性模型更合理。 ⒋ 應(yīng)用中的一個困難 ? 如何保證迭代所逼近的是總體極小值（即最小值）而不是局部極小值？ ? 一是模擬試驗：隨機產(chǎn)生初始值 → 估計 → 改變初始值 → 再估計 → 反復(fù)試驗，設(shè)定收斂標準（例如 100次連續(xù)估計結(jié)果相同） → 直到收斂。收入采用當年價格；農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展規(guī)模以按可比價格計算的、包括種植業(yè)、林業(yè)、牧業(yè)、副業(yè)和漁業(yè)的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)；農(nóng)副產(chǎn)品收購價格以價格指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)。如果差異較大，在確認非線性估計結(jié)果為總體最小時，應(yīng)該懷疑和檢驗線性模型。 – NLS不能直接處理。 2 非線性模型的幾個專門問題 一、一般非線性模型的最大似然估計 二、 因變量的參數(shù)變換 三、異方差性的非線性方法 四、序列相關(guān)性的非線性方法 五、條件異方差性的非線性方法 一、一般非線性模型的最大似然估計 1. 一般非線性模型的描述 ? 以上是一般非線性模型的完整描述。 ⒉ 最大似然估計 ? yi的密度函數(shù) ???????? ???? ?222/122)],(),([e xp)2(????? iiii xgyhyuiiiiii JyyhyuyJ ??????? ),(),( ??雅可比行列式 雅可比行列式 正態(tài)分布密度函數(shù) ???????? ???222/122)],(e xp)2(???? ii xgyiii uxgy ?? ),( ?? 因變量樣本的對數(shù)似然函數(shù)為： ?????iiyJnnL ),(lnln22ln2ln2 ???? ??iii xgyh22 )],(),([21 ???? 很明顯 若沒有雅可比行列式項，參數(shù)的非線性最小二乘估計將是最大似然估計 ；然而，如果雅可比行列式包括 θ，最小二乘法不是最大似然法。 λ取值可以是整個實數(shù)域但多數(shù)應(yīng)用有意義的取值范圍為 [2， 2]。 ? 許多應(yīng)用軟件，例如 GAUSS、 SAS可以實現(xiàn)。 然后 估計 B C 非 線 性 回歸 模型 。 ? 針對不同的問題假定不同的異方差結(jié)構(gòu)；針對同一個問題假定不同的異方差結(jié)構(gòu)，進行估計和比較。 ? 在某些情況下，得到異方差結(jié)構(gòu)的估計結(jié)果比模型參數(shù)估計量更重要。 ? 求出隨機誤差項對被解釋變量的偏導(dǎo)數(shù)表達式。 ? 如果時間序列數(shù)據(jù)問題出現(xiàn)異方差，經(jīng)常以條件異方差形式。 ? Engle, .:1982, Autoregressive Conditional Heteroskedasticity With Estimates of the Variance of . Inflation, Econometrica 50: 9871008. ? The application in Engle(1982) involved macroeconomic series such as the inflation rate, but Engle quickly realized that the ARCH model was useful in financial economics, as well. ? Risk evaluation is at the core of activities on financial markets. Investors assess expected returns of an asset against its risk. Banks and other financial institutions would like to ensure that the value of their assets does not fall below some minimum level that would expose the bank to insolvency. ? Such evaluations cannot be made without measuring the volatility of asset returns. Robert Engle developed improved methods for carrying out these kinds of evaluations. Percentage daily returns on an investment in the Standard amp。 GARCH is the model most often applied today. ? Taylor(1986) suggested p=q=1, the most popular ARCH model in practice. ⒋ ARCHM(q）模型 iiiittt hxyhxyfu ??? ???? ),(),0(~| 1 ttt hNu ???????qiitit uh120 ??????????TtttTtt huhTxyL121)/(21)l n(21)2l n(21),|,(ln ????為什么比 ARCH少 1項？ 1???ttyu⒌ GARCHM(p,q）模型 iiiittt hxyhxyfu ??? ???? ),(),0(~| 1 ttt hNu ???????? ???piitiqiitit huh1120 ???????????TtttTtt huhTxyL121)/(21)l n(21)2l n(21),|,(ln ?????⒍ 檢驗 ? H0：不存在 ARCH或 GARCH ? 統(tǒng)計量 LM=nR2 ? 用某種方法估計原模型，得到殘差估計值 ? 計算 LM，進行 LM 檢驗。這就引出了非參數(shù)模型。 ? 所以它毫無疑問屬于經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型，應(yīng)該將它納入計量經(jīng)濟學(xué)模型的范圍。 ⒉ 模型估計方法 ? 局部逼近估計方法 權(quán)函數(shù)方法 – 核權(quán)估計 – 局部線性估計 – K—近鄰估計 ? 整體逼近估計方法 級數(shù)估計（最小二乘估計） – 正交序列估計 – 多項式樣條估計 ⒊ 模型估計理論的早期重要發(fā)展 ? 局部逼近 （ 權(quán)函數(shù) ） 估計發(fā)展于 1980年前后 ： – Watson和 Nadaraja(1964)提出回歸模型的核估計 。 – Devroye 和 Wagner(1980)證明了核估計的相合性 。 – Stone(1985),Cox(1988),Andrews(1991)討論了級數(shù)估計量在 。 – 弱相依樣本 (weekly dependent Data)下級數(shù)估計量的研究： White and Wooldridge(1991), Chen and Shen(1998)研究漸近性質(zhì) 。 ? 核權(quán)估計、局部線性估計、 k近鄰估計等是其中常用的方法。 m(x)的 NadarayaWatson 核估計就是落在 [xh,x+h]的 xi對應(yīng)的 yi的簡單算術(shù)平均值。 ⒊ 其它形式的核函數(shù)估計 ? K –近鄰估計 ⒋ 窗寬的選擇 ? 核估計是集中 x附近一個鄰域的樣本觀測值的加權(quán)平均，該鄰域的寬度 h稱為窗寬。 漸近均方誤差＝漸近偏 2＋漸近方差 ? 使得漸近均方誤差 達最小的最佳窗寬具有如下形式： 5/1?? hnc為某個常數(shù)。 ⒌ 核權(quán)函數(shù)的選擇 ? 將最佳窗寬代入漸近均分誤差公式，可推得最佳核函數(shù)為 ： ??? )1()(2uuKo p t⒍ 邊界點的處理 ? 由于較少的觀測值被利用，估計的偏和方差將增大。從 《 中國物價 》 得到 1993年 4月到 1998年 11月每月與上年同月相比的居民消費價格指數(shù)，再換算成每月與 1992年 4月相比的居民消費價格指數(shù)，用它作為被解釋變量變量 y。 擬合的均方誤差為 。)(? 若 K()是 [1,1]上的 均勻概率密度函數(shù) ,則 m(x)的局部線性估計就是落在 [xhn,x+hn]的 xi與其對應(yīng)的 yi關(guān)于該局部模型的最小二乘估計 。當 xi越接近 x時，對應(yīng) yi的權(quán)數(shù)就越大，反之，則越小。 ? 使得局部線性估計的漸近均方誤差達最小的最佳窗寬和最佳核函數(shù)仍為相同的形式。 ? 局部線性估計方法既適合于解釋變量為確定性變量的固定設(shè)定模型 ， 也適合于解釋變量為隨機性變量的隨機設(shè)定模型 。 m = 4。 x1= g dp ~ l agn( m c,1) ~ l agn( m c,2) 。 a= zer os( n, 4) 。 p= ( x[ i ,1] * ones ( n,1) ) ~ ( x[ i ,2] * ones ( n,1) ) ~ ( x[ i ,3] * ones ( n,1) ) 。 do unt i l j n。 j = j + 1。 b= i nv ( q) 。 。 em c= ( y a[ .,1] ) ^ 2。 ? 變窗寬局部線性估計的結(jié)果（平均擬合誤差為） 年份 f的估計 tYf ?? /的估計 1/ ??? tCf的估計 2/ ??? tCf的估計 1 9 5 4 6 1 8 . 5 1 1 9 0 . 4 1 8 5 1 4 0 . 4 9 6 5 7 3 5 8 0 . 3 7 1 8 6 9 1 9 5 5 6 2 0 . 9 4 9 1 0 . 4 1 8 4 8 3 0 . 4 9 7 1 2 6 0 . 3 7 2 5 2 1 9 5 6 6 8 1 . 6 8 4 4 0 . 4