【正文】 化，令 ? ?11 11,?? ??? ， ? ?22 22,?? ??? ， ? ?,nn nn?? ??? ， 則 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 5 ? ?12, , , n? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?2 1 1111 1 1 1212 2222,, , , 0,0 0 ,nnnnn? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????????????????， 12, , , n? ? ? 是一組標準正交基，令 ? ?12, , , nQ ? ? ?? ， ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?2 1 1111 1 1 122222,0,0 0 ,nnnnT? ? ? ???? ? ? ????????????????????， 則 Q 是正交矩陣， T 是一上三角矩陣，且對角元素大于零 . 下面證明 ?1 等價于 13? A是正定矩陣等價于存在可逆矩陣 P ，使 ? ?TTA P P QT QT?? ? ? 引 理 可 知 T T TT Q QT T T??， T 是上三角矩陣且對角元素大于 0，同樣的方法可證明下三角矩陣的情況 . 其余等價命題參考文獻 ??1 . 3 正定矩陣的性質(zhì) 性質(zhì) 若 A 是正定矩陣，則 TA 、 1?A 、 *A 、 aA ? ?0?a 也是正定矩陣 . 證明 因為 A 是正定矩陣，所以存在 n 階可逆矩陣 Q ，使 A ? T，則 ? ?TT T T TA Q Q Q Q?? 所以 TA 是正定矩陣 . 另外， A 的特征值 i? ? ?1,2, ,in? 都大于 0 ，所以 1i?? 都大于 0 ，即 1?A 的特征值都大于 0 ，所 以 1?A 也是正定矩陣 . 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 6 對于任意的 ? ?1 2 nX , , ... , 0Tx x x??， TTX aAX aX AX? ? 0 ，所以 aA 是正定矩陣 . 因為 *A =A 1?A ，所以 *A 是正定矩陣 . 性質(zhì) ?? 設 A ， B 是 n 階正定實對稱矩陣，且滿足 AB BA? ,則 AB 也是正定實對稱矩陣 . 證明 因為 ? ?T TTA B B A B A A B? ? ?，所以 AB 是實對稱矩陣，設 ? 是 AB 的一個特征值， ? 是對應于 ? 的特征向量，則 AB? ??? , 1? ? ???BA， 1TTBA? ? ?? ??? ， 因為 A ,B 是正定矩陣，所以 ????TB ， 1 0??? ?TA ， 所以 ? ? 0 ，即 AB 的特征值都大于0 ，所以 AB 也是正定實對稱矩陣 . 由性質(zhì) 的證明過程可知，正定矩陣乘積的特征值大于 0 . 性質(zhì) 若 A 、 B 都是正定矩陣，則 ?AB是正定矩陣 . 證明 顯然 ?AB是實對稱矩陣，對于任意的 ? ?1 2 nX , , . . . , 0Tx x x??， 有 ? ?T T TX A B X X A X X B X? ? ??0， 所以 ?AB是正定矩陣 . 推論 若 A 、 B 都是正定矩陣，則 aA bB? ? ?0ab??， 0 是正定矩陣 . 性質(zhì) ?? 若 A 、 B 都是正定矩陣，則 A B A B? ? ? . 證明 因為 A 是正定矩陣，所以存在可逆矩陣 P ,使得 TP AP E? ，顯然 TPBP 是對稱矩陣，則 TPBP 可對角化，所以存在正交矩陣 Q ,使 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 7 ? ?TTQ P BP Q = 1 00 n???????? 因為 ? ?TTQ P BP Q 是正定矩陣，所以 i? ? 0 ? ?i=12 ,n， ， ，令 S PQ? ，則 TS AS E? TSBS?1 00 n???????? ? ?TS A B S? == 1 1001n?????????? 分別對上式兩邊求行列式得， 2 1SA? ， 2 1 2 nSB ? ? ?? ， ? ? ? ? ? ?2 1 2 n+ 1 1 1S A B ? ? ?? ? ? ?1 2 n +1?? ?? ， 所以 2 2 2++S A S B S A B?， 因為 2S ? 0 ， 所以 A B A B? ? ? . 此性質(zhì)說明了對任意一個正定矩陣 A 和一個實對稱矩陣 B (B 不一定是正定的 ),存在可逆矩陣 T ，使 TTAT 和 TTBT 都為對角矩陣 . 性質(zhì) A 為 n 階正定矩陣，則 A 的元素的絕對值最大者，一定在主對角元上 . 證明 因為 A 正定，從而 A 的一切二階主子式都大于 0 ，當 ij? 時 洛陽師范學院本科畢業(yè)論文 8 2i i i ji i j j i ji j j jaa a a aaa ???0. 移項后，開方即得， ija ? ? ?12ii jjaa ? ?, , 1, 2, ,i j i j n?? ， 設 A 的主對角元上最大元素為 kka ，再由上式，得， ija ? ? ?12ii jjaa ? ? ?12 2kka = kka ? ?ij? ， 此即證 ija ? kka ? ?, 1, 2, ,i j n? . 即 A 的元素的絕對值最大者，一定在主對角元上 . 性質(zhì) ?? A 為 n 階正定矩陣，則 11 22 nnA a a a? ，其中 iia ? ?1,2, ,in? 為 A 的主對角元素 . 證明 設 1T nnAA a?????????，其中 1A 為 A 的 n 1階順序主子式， ? ?1 2 1 , , ,T n n n na a a? ?? 因為 A 正定，所以 1A 正定， 11A? 存在，于是 111 111101 01n nTT nnAE EAaA ? ??? ?? ????? ? ??? ????????? ?? ??= 11100TnnaA??????， 兩 邊取行列式得， A = 1A ? ?11TnnaA???? ， 因為 1A 正定，所以 11A? 正定，所以 11TA??? 0? ， 1A 0? . 所以 A ? 1A nna ，同理 1A ? 2A 1, 1nna??，這樣繼續(xù)下去，可得 A ? 1A nna ? 2A 1, 1n n nnaa?? ? 11 22 nna a a? . 性質(zhì) 若 A 是正定矩陣，則 ? ?kAk是 正 整 數(shù) 也是正定矩陣 . 洛