數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-求方程的近似解方法及比較分析-wenkub
2022-09-13 11:41:35 本頁面
【正文】 (j=1,2,… ,n) 分別用 L 的第 i(i=1,2,… ,n)行乘 U 的第一列，比較可得 (i=1,2,… ,n) 即得 (i=1,2,… ,n) 這樣就求出了 L的第一 列和 U的第一行的所有元素。高斯消去法解線性方程組先消元，然后再回代。即設(shè) ， Q 為 交 7 矩陣，記 B= AQ= ,則 雅克比方法的基本思想： 是通過一次正交變換，將 A中的一對非 0的非對角 線 化成 0，并且使得非對角元素的平方和減小。于是，求解 Ax=b 轉(zhuǎn)化為求解 Mx=Nx+b,由此可構(gòu)造一個迭代法： x(0)(初始向量 ) ， x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2… ) 其中， f=b/M,B=IA/M 為迭代法的迭代矩陣。 簡要分析了算法的計(jì)算效果、穩(wěn)定性、收斂效果、計(jì)算精度以及優(yōu)劣性。 例如電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問題，船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)問題 ，用最小二乘法求實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，解非線性方程組的問題，用差分法或者有限元方法解常微方程。本文根據(jù) 線性代數(shù) 方程 組 的 雅可比迭代法、 LU 分解法及高斯列主元消去法三種解法進(jìn)行了比較，用以方便在實(shí)際生活應(yīng)用中更好的作出選擇 。在第 二章 中 本文詳細(xì)的介紹了線性代數(shù)方程組的三種解法 的理論知識與證明過程。偏微分方程邊值問題等都導(dǎo)致求解線性代數(shù)方程組，二這些方程組的系數(shù)矩陣大致分為兩種，一種是低階稠密矩陣（例如，階數(shù)不超過 150）， 本文的編寫由以下幾個特點(diǎn)： 另一種是大型稀疏矩陣（即矩陣階數(shù)高且零元素較多的）。 6 第二章 求解線性方程組的基本理論 迭代法 迭代法的基本思想： 是將線性方程組轉(zhuǎn)化為便于迭代的等價(jià)方程組，對任選一組初始值 （ i=1,2… n），按某種計(jì)算規(guī)則，不斷地對所得到的值進(jìn)行修正，最終獲得滿足精度要求的方程組的近似解。 選取 M為 A 的對角元素組成的矩陣，即選取 M=D，可得到解 Ax=b 的雅克比迭代法： x(0)(初始向量 ),x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2… ) BJ為求解 Ax=b 的雅克比迭代法的迭代矩陣。反復(fù)進(jìn)行上述過程，使變換后的矩陣的非對角元素的平方和趨于 0，從而使該矩陣近似為對角矩陣，得到全部特征值和特征向量。當(dāng)用矩陣描述時，是對系數(shù)矩陣分解為一個上三角陣和一個下三角陣的乘積，即 LU分解。 依次進(jìn)行下去，一直到第 k1 步，即已求出 L的前 k1 列和 U的前 k1行的所有元素。 如此重復(fù)，直到最后將原線性代數(shù)方程組化為 = 回代求解 得到 (k=n1,… ,2,1) 列主元消去法除了每步需要按列選出主元，然后進(jìn)行對換外，其消去過程與高斯順序消去法是相同的。 迭代法 解題步驟 ： 將方程組記為 Ax=b，其中 A= b= 將原方程組改寫為 (1) 也可寫為 x=Bx+f 其中 B= f= 任取初始值 = ,代入（ 1）式右邊，得到新的值： 再將 代入（ 1）式右邊得到 。迭代法不存在誤差累積問題。 高斯列主元消去法計(jì)算簡單，工作量大為減少，且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)與理論分析均表明，它具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性，故列主元法是求解中小型稠密線性方程組的最好方法之一。 LU 分解法可以使用于任何矩陣，從使用范圍來說 LU 分解法優(yōu)點(diǎn)相當(dāng)明顯。這種差異，主要是由于 LU分解的時候，每次只是計(jì)算跟主元同行和同列、標(biāo)號在主元之后的元，而高斯消去法是標(biāo)號在主元之后的每個元都要計(jì)算。值此畢業(yè)之際，謹(jǐn)向 她 致以崇高的敬意。 。 特別地，要感謝我的父母，他們是我求學(xué)道路上巨大的精神靠山，沒有他們的理解與支持，也許我就不能跨越一道道的難關(guān)。 劉 老師勤奮踏實(shí)的工作作風(fēng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和活躍的學(xué)術(shù)思維讓我受益匪淺。 LU 分解法在適用范圍、編寫繁簡以及運(yùn)算速度方面都比較優(yōu)越。系數(shù)矩陣的 LU 分解與右端項(xiàng)無關(guān)。雅克比迭代法
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