【正文】 面積之比等于相似比的平方 相似形三角形的應(yīng)用： 計(jì)算那些不能直接測量的物體的高度或?qū)挾纫约暗确菥€段 例題 1：如圖所示， ABCD 中， G 是 BC 延長線上一點(diǎn)， AG 交 BD 于點(diǎn) E，交 DC 于點(diǎn) F，試找出圖中所有的相似三角形 2如圖在正方形網(wǎng)格上有 6個(gè)斜三角形： a :ABC； b: BCD c: BDE d: BFG e: FGH f: EFK，試找出與三角形 a 相似的三角形 在 ABC 中， AB=8 厘米， BC=16 厘米，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿 AB 邊向點(diǎn)B 以 2 厘米每秒的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開始沿 BC 向點(diǎn) C 以 4 厘米每秒的速度移動(dòng)，如果 P、 Q 分別從 A、 B 同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘 PBQ 與 ABC 相似？ 某房地產(chǎn)公司要在一塊矩形 ABCD 土地上規(guī)劃建設(shè)一個(gè)矩形 GHCK 小區(qū)公園（如圖），為了使文物保護(hù)區(qū) AEF 不被破壞，矩形公園的頂點(diǎn) G 不能在文物保護(hù)區(qū)內(nèi)。 CE=CF 7．如圖，在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn) A（ 4， 0）， B（ 0， 2），如果點(diǎn) C 在 x 軸上，（ C 與 A 不重合），當(dāng)由點(diǎn) B， O， C組成的三角形與三角形 AOB相似時(shí)，求點(diǎn) C的坐標(biāo)？ 8．如圖，在四邊形 ABCD 中， E是 AB上一點(diǎn)， EC平行 AD， DE 平行 BC，若三角形 BEC 的面積 =1，三角形 ADE 的面積 =3，求三角形 CDE 的面積 A B C D E F A X Y B O D C B E A 5 位似圖形教案 教學(xué)目標(biāo)： 知識目標(biāo)： ① 了解位似圖形及其有關(guān)概念； ② 了解位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。 教學(xué)方法： 從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識出發(fā)，采用引導(dǎo)、啟發(fā)、合作、探究等方法，經(jīng)歷觀察、發(fā)現(xiàn)、動(dòng)手操作、歸納、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)；提高學(xué)生自主探究、合作交流和分析歸納能力；同時(shí)在教學(xué)過程對不同層次的學(xué)生進(jìn)行分類指導(dǎo)，讓每個(gè)學(xué)生都得到充分的發(fā)展。 議一議 觀察上圖中的五個(gè)圖形，回答下列問題： （ 1） 在各圖形中，位似 圖形的位似中心與這兩個(gè)圖形有什么位置關(guān)系？ （ 2） 在各圖中，任取一對對應(yīng)點(diǎn)，度量這兩個(gè)點(diǎn)到位似中心的距離。 三、指導(dǎo)應(yīng)用 深化理解 （同學(xué)們觀察大屏幕出示的問題） 例 1 如圖 D， E分別是 AB， AC 上的點(diǎn)。 （一生口述師板書：） 解：（ 1）△ ADE 和△ ABC 是位似圖形 .理 由是： ∵ DE∥ BC ∴∠ AED=∠ B, ∠ AED=∠ C. ∵△ ADE∽△ ABC. 又∵點(diǎn) A 是△ ADE 和△ ABC 的公共點(diǎn)，點(diǎn) D 和點(diǎn) B 是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn) E 和點(diǎn) C是對應(yīng)點(diǎn)，直線 BD與 CE 交于點(diǎn) A， A B C D E 9 ∴△ ADE 和△ ABC 是位似圖形。 七、自我評價(jià) 檢測新知 如果兩個(gè)位似圖形的每組 ________所在的直線都 _________，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做 ________，這時(shí)的相似比又叫做________。最后公布答案，教師并將發(fā)現(xiàn)的問題及時(shí)矯正有利于學(xué)生知識的鞏固和提高） 八、課后延伸 探索創(chuàng)新 在如圖所示的圖案中，最外圈的 8 個(gè)三角形組成的圖形和次外圈的 8個(gè)紅色三角形組成的圖形是位似圖形嗎？如果是，為似比是多少？ 九、板書設(shè)計(jì)： 十、課后反思： 存在問題： （ 1）學(xué)生在動(dòng)手操作，與探究位似圖形的共同特征環(huán)節(jié)比較順利，但是歸納性質(zhì)用語言表達(dá)時(shí)則較困難； （ 2） 證明位似圖形的思路還需要在老師的提示下找到，沒能及時(shí)內(nèi)化； （ 3）內(nèi)外位似區(qū)別不清楚。 教學(xué)過程： 準(zhǔn)備活動(dòng) : 閱讀理解：對于四條線段 a、 b、 c、 d，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另外兩條線段的比相等，如 （即 ab=cd），我們就說這四條線段是成比 14 例線段，簡稱比例線段 . 一、復(fù)習(xí)舊知 相似多邊形有關(guān)概念 二、引入新知 例題 .如圖（多媒體出示），四邊形 ABCD 和 EFGH相似，求 ∠ ∠ 2 的度數(shù)和 EF 的長度 . 解：四邊形 ABCD 和 EFGH相似，它們的對應(yīng)角相等。（ 78176。 四邊形 ABCD 和 EFGH相似，它們的對應(yīng)邊成比例。 四邊形 ABCD 和 EFGH 相似，它們的對應(yīng)邊成比例。 （ 78176。 解得， x=28（ cm） . 三鞏固練習(xí) 18 記作△ ABC ∽△ DEF FEDCBA 其中對應(yīng)頂點(diǎn)要寫在對應(yīng)位置，如 A 與 D、 B 與 E、 C 與 F 相對應(yīng)． AB∶ DE等于相似比 ,相似比為 K． 想一想：如果△ ABC∽△ DEF，那么哪些角是對應(yīng)角？哪些邊是對應(yīng)邊？對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊呢？ 由前面相似多邊形的性質(zhì)可知，對應(yīng)角應(yīng)相等，對應(yīng)邊應(yīng)成比例． 議一議： （ 1）兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？ （ 2）兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？兩個(gè)等腰直角三角形呢？為什么？ （ 3）兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？兩個(gè)等邊三角形呢？為什么？ 五、小結(jié)： 請學(xué)生談一談自己的 收獲以及自己對本節(jié)課的體會(huì) 。 45176。 60176。的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角； （ 2）能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角求出它的三角函數(shù)值， 由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角． 2．過程與方法 通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)， 體會(huì)函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，逐步培養(yǎng)學(xué)生會(huì)觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣． 重點(diǎn)與難點(diǎn) 1．重點(diǎn)：正弦、余弦；正切三個(gè)三角函數(shù)概念及其應(yīng)用． 2．難點(diǎn)：使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定時(shí)，它的對邊、 鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實(shí)．用含有幾個(gè)字母的符號組 sinA、 cosA 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念． 教學(xué)方法 學(xué)生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊 的比值也是固定的事實(shí)，關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，得出結(jié)論．正弦、余弦的概念是全章知識的基礎(chǔ)，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與工作都十分重要，教學(xué)中應(yīng)十分重視．同時(shí)正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對應(yīng)的函數(shù)思想，又用含幾個(gè)字母的符號組來表示，在教學(xué)中應(yīng)作為難點(diǎn)處理． 29 第 1 課時(shí) 正弦函數(shù) 復(fù)習(xí)引入 教師講解：雜志上有過這樣的一篇報(bào)道：始建于 1350 年的意大利比薩斜塔落成時(shí)就已經(jīng)傾斜． 1972 年比薩發(fā)生地震，這座高 的斜塔大幅度搖擺22 分之分，仍巍然屹立．可是，塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距 離已由落成時(shí)的 ， 而且還以每年傾斜 1cm 的速度繼續(xù)增加， 隨時(shí)都有倒塌的危險(xiǎn)． 為此， 意大利當(dāng)局從 1990 年起對斜塔進(jìn)行維修糾偏， 2020 年竣工，使頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了 ． 根據(jù)上面的這段報(bào)道中， “塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離已由落成時(shí)的 增加至 ，”這句話你是怎樣理解的，它能用來描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？ 這個(gè)問題涉及到銳角三角函數(shù)的知識．學(xué)過本章之后，你就可以輕松地解答這個(gè)問題了 ! 探究新知 （ 1） 問題的引入 教師講解：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管， 在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是 30176。角所對的邊等于斜邊的一半”，即 A BCAB? ?的對邊斜邊 ＝ 12 可得 AB=2BC=70m，也就是說，需要準(zhǔn)備 70m長的水管． 教師更換問題的條件后提出新問題： 在上面的問題中， 如果使出水口的高度為 50m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？ 要求學(xué)生在解決新問題時(shí)尋找解決這兩個(gè)問題的共同點(diǎn)． 教師引導(dǎo)學(xué)生得出這樣的結(jié)論：在上面求 AB（所需水管的長度）的過程中，雖然問題條件改變了，但我們所用的定理是一樣的：在一個(gè)直角三角形中， 如果一個(gè)銳角等于 30176?！?A=45176。時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何， 這個(gè)角的對邊與斜邊的比都等于 22 ． 教師再將問題 提升到更高一個(gè)層次： 從上面這兩個(gè)問題的結(jié)論中可知， 在一個(gè) Rt△ ABC 中，∠ C=90176?！?A=∠ A′ =a，那么 39。BC B CAB A B與 有什么關(guān)系． B 39?！?A=∠ A′ =a，所以 Rt△ABC∽ Rt△ A′ B′ C′， 39。BC ABB C A B? ，即 39。BC B CAB A B? ． 這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角 A 的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小 32 如何， ∠ A 的對邊與斜邊的比都是一個(gè)固定值． （二）正弦函數(shù)概念的提出 教師講解：在日常生活中和數(shù)學(xué)活動(dòng)中上面所得出的結(jié)論是非常有用的．為了引用這個(gè)結(jié)論時(shí)敘述方便，數(shù)學(xué)家作出了如下規(guī)定： 如課本圖 28． 14，在 Rt△ BC 中，∠ C=90176。時(shí)，我們有 sinA=sin45176。 sinA= 513 ，則 sinB 等于（ ） A． 1213 B． 1312 C． 512 D． 513 4．（ 2020．遼寧大連） 在 Rt△ ABC 中，∠ C=90176。 BC= 6， sinA=35 ，求 cosA、 tanB 的值． 6CBA 教師對解題方法進(jìn)行分 析：我們已經(jīng)知道了直 角三角形中一條邊的值，要求余弦，正切值，就要求斜邊與另一個(gè)直角邊的值． 我們可以通過已知角的正弦值與對邊值及勾股定理來求． 教師分析完后要求學(xué)生自己解題．學(xué)生解后教師總結(jié)并板書． 解： sinA=BCAB ， ∴ AB=sinBCA =6 53 =10， 又∵ AC= 2 2 2 21 0 6AB BC? ? ?=8， ∴ cosA= ACAB =45 ， tanB=ACBC =43 ． 隨堂練習(xí) 學(xué)生做課本第 81 頁練習(xí) 3 題． 課時(shí)總結(jié) 在直角三角形中，當(dāng)銳角 A 的大小確定時(shí)，∠ A 的鄰邊與斜邊 的比叫做∠A 的余弦，記作 cosA，把∠ A 的對邊與斜邊的比叫做∠ A 的正切，記作 tanA． 教后反思 ____________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 37 第 2 課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 課本練習(xí) 做課本第 85 頁習(xí)題 28． 1 復(fù)習(xí)鞏固第 1 題、第 2 題．（只做與余弦、正切函數(shù) 有關(guān)的部分） 雙基與中考 一、選擇題． 1．已知 sina+cosa=m， sina≤∠ A≤ 45176。 ∠ A90176。則 A、 B 間的距離應(yīng)為（ ）． A ． 17sin50 176。米 8．在△ ABC 中，∠ C=90176。 α 45176。、 45176。 60176。）． （ 2） cos45sin45?? tan45176。 = 22 247。 45176。+cos260176。 =cos55176。 2cos60176。 B． 60176。 D． 30176。時(shí)， cosa 的值（ ）． A．小于 12 B．大于 12 C．大于 32 D．大于 1 8．在△ ABC 中，三邊之比為 a： b： c=1： 3 ： 2，則 sinA+tanA 等于（ ）． A． 3 2 3 1 3 3 3 1. 3 . .6 2 2 2B C D??? 9．已知梯形 ABCD 中，腰 BC 長為 2，梯形對角線 BD 垂直平分 AC，若梯形的高是 3 ， 則∠ CAB 等于（ ） A． 30176。+sin218176。已知 tanB= 52 ，則 cosA=________． 16．正方形 ABCD 邊長為 1，如果將線段 BD 繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn) D 落在 BC