【正文】 2 3 NMOCBA A B O P (第 13 題 ) y x O A B D C （第 18 題） 23. （ 2020 湖南衡陽， 16， 3 分）如圖，⊙ O 的直徑 CD 過弦 EF 的中點(diǎn) G，∠ EOD=40176。則∠ ACD 的度數(shù)是 . ODA BC 第 12 題圖 【答案】 50176。 , ∴弧 AB 的長 = 35180 560 ?? ??? 。 ②當(dāng)交點(diǎn) E 在點(diǎn) C 的右側(cè)時(shí)， ∵ ∠ ECF＞ ∠ BOA， ∴要使△ ECF 與△ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD, ∴ ∠ BEA=∠ BAO, ∴ ∠ BEA=∠ ECF, ∴ CF∥ BE, ∴ OEOCBECF? , ∵ ∠ ECF=∠ BAO, ∠ FEC=∠ DEA=Rt∠ ， ∴△ CEF∽△ AED, ∴ CF CEAD AE? , 而 AD=2BE, ∴ 2OC CEOE AE? , 即 552 10xxx?? ? , 解得 4 17551 ??x, 4 17552 ??x＜ 0（ 舍去 ）， ∴ E3（ 4 1755? ， 0） 。. ∴∠ QFD＋∠ Q＝ 90176?！唷?M＋∠ CFM＝ 90176。 AB＝ c， AC＝ b， BC＝ a，且 b＞ a，若 Rt? ABC 是奇異三角形，求 a： b： c； （ 3）如圖， AB 是⊙ O 的直徑， C 是上一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B 重合）， D 是半圓 ⌒ABD的中點(diǎn)，CD 在直徑 AB 的兩側(cè)，若在⊙ O 內(nèi)存在點(diǎn) E 使得 AE＝ AD， CB＝ CE． ○ 1 求證： ? ACE 是奇異三角形； ○ 2 當(dāng) ? ACE 是直角三角形時(shí)，求∠ AOC 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）真命題 （ 2）在 Rt? ABC 中 a2＋ b2＝ c2， ∵ c＞ b＞ a＞ 0 ∴ 2c2＞ a2＋ b2， 2a2＜ c2＋ b2 ∴若 Rt? ABC 是奇異三角形，一定有 2b2＝ c2＋ a2 ∴ 2b2＝ a2＋（ a2＋ b2） ∴ b2＝ 2a2 得： b＝ 2a ∵ c2＝ b2＋ a2＝ 3a2 ∴ c＝ 3a ∴ a： b： c＝ 1： 2： 3 (3)○ 1 ∵ AB是⊙ O的直徑 ACBADB＝ 90176。 (Ⅱ )當(dāng) AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 時(shí) AC： CE＝ 3： 1 即 AC： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ AOC 的度數(shù)為 60176。＜ α＜ 90176。 +90176。 A B C D1 E1 M1 O N1 圖 8 A B C D E M N O 圖 7 ∴ AB=AC ∵ DC=DE ∠ ACB=∠ ACE=90176。而得到的，故 BD1⊥ AE1 其余證明過程與（ 2）完 全相同． 9. （ 2020 浙江麗水， 24， 12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(10， 0)，以 OA 為直徑在第一象限內(nèi)作半圓 C，點(diǎn) B 是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) OB、 AB，并延長 AB 至點(diǎn) D，使 DB＝ AB，過點(diǎn) D作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 OB于點(diǎn) E、 F，點(diǎn) E為垂足，連結(jié) CF. （ 1）當(dāng) ∠ AOB＝ 30176。 又∵ AB= BD， ∴ OB 是 AD 的垂直平分線， ∴ OD= OA=10， 在 Rt△ ODE 中， OE= OD2－ DE2= 102－ 82=6， ∴ AE= AO－ OE =10－ 6=4， 由∠ AOB=∠ ADE= 90176。= 23 ， tan30176。所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 11. （ 2020湖南常德， 25， 10分）已知 △ ABC，分別以 AC 和 BC 為直徑作半圓 1O 、 2,O P是 AB 的中點(diǎn) . （ 1）如圖 8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,ACBC 上分別取點(diǎn) E、 F，使12,AO E BO F? ? ? 則有結(jié)論① 12,PO E FO P? ②四邊形 12POCO 是菱形 .請(qǐng)給出結(jié)論②的證明； （ 2）如圖 9，若（ 1）中△ ABC 是任意三角形，其它條件不變，則（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明； （ 3）如圖 10，若 PC 是 1O 的切線，求證： 2 2 23AB BC AC?? 【答案】 （ 1） 證明： ∵ BC 是⊙ O2直徑，則 O2是 BC 的中點(diǎn) 又 P 是 AB 的中點(diǎn) . ∴ P O2是 △ ABC 的中位線 ∴ P O2 =12 AC 又 AC 是⊙ O1直徑 ∴ P O2= O1C=12 AC 同理 P O1= O2C =12 BC ∵ AC =BC ∴ P O2= O1C=P O1= O2C ∴四邊形 12POCO 是菱形 （ 2） 結(jié)論① 12,PO E FO P? 成立，結(jié)論②不成立 證明：在（ 1）中已證 PO2=12 AC，又 O1E=12 AC ∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2是 △ ABC 的中位線 ∴ PO2∥ AC ∴∠ PO2B=∠ ACB 同理∠ P O1A=∠ ACB ∴∠ PO2B=∠ P O1A ∵∠ AO1E =∠ BO2F 圖8O2O1PA DCEFB D ∴∠ P O1A+∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F 即 ∠ P O1E =∠ F O2 P ∴ （ 3） 證明：延長 AC 交⊙ O2于點(diǎn) D，連接 BD. ∵ BC 是⊙ O2的直徑，則 ∠ D=90176。 C是弦 AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B重合），連接 CO并延長 CO交⊙ O于點(diǎn) D，連接 AD. （ 1）弦長 AB=________（結(jié)果保留根號(hào)）； （ 2）當(dāng)∠ D=20176?！?A=50176。∴∠ DAB=50176。∠ BOD=120176。； 當(dāng) PA的長度等于 ______時(shí)，△ PAD是等腰三角形； （ 2）如圖②，以 AB邊所在的直線為 x 軸， AD 邊所在的直線為 y 軸，建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn) A即為原點(diǎn) O），把△ PAD、△ PAB、△ PBC的面積分別記為 S S P點(diǎn)坐標(biāo)為（ a， b），試求 2S1S3S22的最大值，并求出此時(shí) a、 b的值 . 【答案】 解：（ 1） 2； 2 2 或 558 . （ 2）如圖，過點(diǎn) P分別作 PE⊥ AB， PF⊥ AD，垂足分別為 E、 F，延長 FP交 BC于點(diǎn) G，則 PG⊥ BC. ∵ P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ a， b），∴ PE=b， PF=a， PG=4a. 在△ PAD、△ PAB 及△ PBC 中， S1=2a， S2=2b， S3=82a， ∵ AB 是直徑，∴∠ APB=90176。 ⊙ O 的直徑等于 10， BD=8，求 CE 的長． 【答案】證明： ⑴ 連接 AD ∵∠ DAC=∠ DEC ∠ EBC=∠ DEC ∴∠ DAC=∠ EBC 又 ∵ AC 是 ⊙ O 的直徑 ∴∠ ADC=90176。(∠ EBC+∠ DCA)=180176?！?ADC=90176。 AC=10 ∴ 由勾股定理，得 6810 2222 ????? ADACDC . ∴ BC=BD+DC=8+6=14 又 ∵∠ BGC=∠ ADC=90176。= 23 ， cos30176。. （ 2）因?yàn)?△ ABC 中的邊 BC的長不變，所以底邊上的高最大時(shí)， △ ABC面積的最大值 ,即點(diǎn)A是 BAC 的中點(diǎn)時(shí)， △ ABC 面積的最大值 . 因?yàn)?∠ BAC=60176。 在 Rt△ AOC 中， AO＝ 5， AC＝ 3，∴ OC＝ 4， 過 C 作 CE⊥ OA 于點(diǎn) E，則： OCCACEOA ????? 2121 ， 即 ： 4321521 ????? CE ，∴ 512?CE ， ∴516)512(4 2222 ????? CEOCOE ∴ )512,516(C ， 備用 圖 χ y χ y 設(shè)經(jīng)過 A、 C 兩點(diǎn)的直線解析式為： bkxy ?? ． 把點(diǎn) A(5， 0)、 )512,516(C 代入上式得： ?????????51251605bkbk ， 解得：??????????32034bk， ∴ 32034 ??? xy ， ∴點(diǎn) )320,(OB ． (2)點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，理由如下： 連接 CP、 CD、 DP，∵ OC⊥ AB， D 為 OB 上的中點(diǎn)， ∴ ODOBCD ?? 21 ， ∴∠ 3＝∠ 4，又∵ OP＝ CP，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＋∠ 3＝∠ 2＋∠ 4＝ 90176。 ∴ ∠ ADE＝ ∠ ABD＝ ∠ DAP ∴ PD＝ PA 又∵∠ DFA +∠ DAC＝ ∠ ADE +∠ PD F＝ 90176。 ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長． ? A B C D E O F P 第 21 題圖EABCODF 【答案】 ⑴ 連結(jié) OE， 第 21 題答案圖DOEACB F 則 OE⊥ AC, 所以 ∠ AEO=90176。 ∠ OED=∠ F 又因?yàn)?OD=OE 所以 ∠ OED=∠ ODE ∠ ODE=∠ F BD=BF ⑵ Rt△ ABC 和 Rt△ AOE 中， ∠ A 是公共角 所以 Rt△ ABC ∽ Rt△ AOE OE AOBC AB? ，設(shè) ⊙ 0 的半徑是 r，則有 812 8 2rrr?? ? 求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （ 2020湖北鄂州， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD為∠ BCA外角的平分線，F(xiàn) 為弧 AD 上一點(diǎn)， BC=AF，延長 DF 與 BA的延長線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE 【答案】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對(duì)角”知 ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE