【正文】 ? , 又∵ ∠ ECF=∠ BAO, ∠ FEC=∠ DEA=Rt∠ ， ∴△ CEF∽△ AED, ∴ ADCFAECE? ， 而 AD=2BE, ∴ 2OC CEOE AE? , ∴ 5 +52 10+xxx? , 解得 4 17551 ???x, 4 17552 ???x＜ 0（舍去） , ∵點(diǎn) E 在 x 軸負(fù)半軸上 , ∴ E4（ 4 1755? ， 0） , 綜上所述：存在以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與△ AOB 相似 ,此時(shí)點(diǎn) E 坐標(biāo)為： 1E （ 25 ， 0）、 2E （ 310 ， 0）、 3 E （ 4 1755? ， 0）、 4 E （ 4 1755? ， 0） ． ?? 4分 O B D F C E A x y O B D F C E A x y 3. （ 2020 山東德州 22,10 分） ●觀察計(jì)算 當(dāng) 5a? ， 3b? 時(shí)， 2ab?與 ab 的大小關(guān)系是 _________________． 當(dāng) 4a? ， 4b? 時(shí)， 2ab?與 ab 的大小關(guān)系是 _________________． ●探究證明 如圖所示， ABC? 為圓 O 的內(nèi)接三角形， AB 為直徑，過(guò) C 作 CD AB? 于 D，設(shè) AD a? ，BD=b． （ 1）分別用 ,ab表示線段 OC， CD； （ 2）探求 OC 與 CD 表達(dá)式之間存在的關(guān)系 （用含 a， b 的式子表示） ． ●歸納結(jié)論 根據(jù) 上面的觀察計(jì) 算、探究證 明，你能得 出 2ab? 與 ab 的大小關(guān) 系是：_________________________． ●實(shí)踐應(yīng)用 要制作面積為 1 平方米的長(zhǎng)方形鏡框，直接利用探究得出 的結(jié)論，求出鏡框周長(zhǎng)的最小值 ． 【答案】 ●觀察計(jì)算 : 2ab? ab ， 2ab? = ab . ??????? 2分 ●探究證明： （ 1） 2AB AD BD OC? ? ?， ∴ 2abOC ?? ??????? 3分 AB為⊙ O 直徑 , ∴ 90ACB? ? ? . 90A A C D? ? ? ? ?， 90ACD BCD? ? ? ? ?， ∴∠ A=∠ BCD. ∴△ ACD ∽△ CBD . ??????? 4分 ∴ AD CDCD BD? . 即 2C D AD BD ab? ? ?, ∴ CD ab? . ??????? 5分 A B C O D A B C O D （ 2）當(dāng) ab? 時(shí) ,OC CD? , 2ab?= ab ； ab? 時(shí) ,OC CD? , 2ab? ab ．??????? 6分 ●結(jié)論歸納 : 2ab? ? ab． ?????? 7分 ●實(shí)踐應(yīng)用 設(shè)長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為 x 米 ,則另一邊長(zhǎng)為 1x米 ,設(shè)鏡框周長(zhǎng)為 l 米 ， 則 12( )lxx?? ≥ 144x x?? ． ????? 9分 當(dāng) 1x x? ,即 1x? （ 米 ）時(shí) ,鏡框周長(zhǎng)最?。? 此時(shí)四邊形為正方形時(shí) ,周長(zhǎng)最小為 4 米 . ?????? 10 分 4. （ 2020 山東濟(jì)寧， 19， 6 分） 如圖， AD 為 ABC? 外接圓的直徑， AD BC? ，垂足為點(diǎn)F ， ABC? 的平分線交 AD 于點(diǎn) E ，連接 BD ， CD . (1) 求證： BD CD? ； (2) 請(qǐng)判斷 B ， E ， C 三點(diǎn)是否在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上？并說(shuō)明理由 . 【答案】（ 1）證明：∵ AD 為直徑， AD BC? ， ∴ BD CD? .∴ BD CD? . 3 分 （ 2）答： B ， E ， C 三點(diǎn)在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . OP＝ r2 （ 2）當(dāng)點(diǎn) E 在 AB（或 BA）的延長(zhǎng)線上時(shí)，以如圖 2 點(diǎn) E 的位置為例，請(qǐng)你畫出符合題意的圖形， 標(biāo)注上字母，（ 1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由 . 【答案】 （ 1）證明：連接 FO 并延長(zhǎng)交 ⊙ O 于 Q，連接 DQ. ∵ FQ 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FDQ＝ 90176。. ∵ CD⊥ AB，∴∠ P＋∠ C＝ 90176。OP＝ OF2＝ r2. （ 2）解：（ 1）中的結(jié)論成立 . 理由：如圖 2，依題意畫出圖形，連接 FO 并延長(zhǎng)交 ⊙ O 于M，連接 CM. ∵ FM 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FCM＝ 90176。. ∵ CD⊥ AB，∴∠ E＋∠ D＝ 90176。OP＝ OF2＝ r2. 6. （ 2020 寧波市， 25， 10 分）閱讀下面的情境對(duì)話，然后解答問(wèn)題 A B C D E F P . O G （圖 1） . A B C D E . O G （圖 2） （ 1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請(qǐng)你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？ （ 2）在 Rt? ABC 中， ∠ ACB＝ 90176。 在 Rt? ABC 中， AC2＋ BC2＝ AB2 在 Rt? ADB 中， AD2＋ BD2＝ AB2 ∵點(diǎn) D 是半圓 ⌒ABD的中點(diǎn) ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ∴ AD＝ BD ∴ AB2＝ AD2＋ BD2＝ 2AD2 ∴ AC2＋ CB2＝ 2AD2 又∵ CB＝ CE， AE＝ AD ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 ∴ ? ACE 是奇異三角形 ○ 2 由 ○ 1 可得 ? ACE 是奇異三角形 ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 當(dāng) ? ACE 是直角三角形時(shí) 由（ 2）可得 AC： AE： CE＝ 1： 2： 3或 AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 （Ⅰ）當(dāng) AC： AE： CE＝ 1： 2： 3時(shí) AC： CE＝ 1： 3即 AC： CB＝ 1： 3 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 60176。 ∴ ∠ ABC＝ 60176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 或 120176。等腰直角三角形 DCE 中 ∠ DCE 是直角，點(diǎn) D 在線段 AC 上． （ 1）證明： B、 C、 E 三點(diǎn)共線； （ 2）若 M 是線段 BE 的中點(diǎn)， N 是線段 AD 的中點(diǎn)，證明： MN= 2OM； （ 3）將 △ DCE 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α（ 0176。）后，記為 △ D1CE1（圖 8），若 M1是線段 BE1 的中點(diǎn)， N1 是線段 AD1的中點(diǎn)， M1N1= 2OM1 是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，說(shuō)明理由． 【答案】（ 1）∵ AB為⊙ O直徑 ∴∠ ACB=90176。 ∴∠ BCE=90176。 =180176。 ∠ ABC=45176。 ∴ △ BCD≌△ ACE ∴ AE=BD，∠ DBE=∠ EAC ∴∠ DBE+∠ BEA=90176。－∠ ACD1 所以仍有 △ BCD1≌△ ACE1， 所以 △ ACE1是由 △ BCD1繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。時(shí)，求弧 AB 的長(zhǎng)； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時(shí)，求線段 EF 的長(zhǎng)； （ 3）在點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB 相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . FEDCBAO xy 【解】 (1)連結(jié) BC， ∵ A(10， 0)，∴ OA=10， CA=5， ∵∠ AOB=30176。 ∴ ⌒AB的長(zhǎng) =60π 5180 =5π3 ； （ 2）連結(jié) OD， ∵ OA 是⊙ C 的直徑，∴∠ OBA=90176。－∠ OAB， ∠ OEF=∠ DEA， 得△ OEF∽ △ DEA， ∴ AEDE= EFOE，即 48=EF6 ，∴ EF=3； FEDCBAO xyFEDCBAO xyFEDCBAO xy (3)設(shè) OE=x， ①當(dāng)交點(diǎn) E 在 O， C 之間時(shí)，由以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與△ AOB 相似， 有∠ ECF=∠ BOA 或∠ ECF=∠ OAB，當(dāng)∠ ECF=∠ BOA 時(shí)，此時(shí)△ OCF 為等腰三角形， 點(diǎn) E 為 OC 的中點(diǎn)，即 OE=52， ∴ E1(52， 0)； 當(dāng)∠ ECF=∠ OAB 時(shí)，有 CE=5－ x， AE=10－ x， ∴ CF//AB，有 CF=12AB， ∵△ ECF∽ △ EAD， ∴ CEAE=CFAD，即 5－ x 10－ x=14，解得 x=103 ， ∴ E2(103 ， 0)； ②當(dāng)交點(diǎn) E 在 C 的右側(cè)時(shí)， ∵∠ ECF∠ BOA ∴要使△ ECF 與 △ BAO 相似，只能使∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD， ∴∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ BEA=∠ ECF， ∵ CF//BE，∴ CFBE=OCOE， ∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴△ CEF∽ △ AED，∴ CFAD=CEAE， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， 即 52x= x－ 5 10－ x， 解得 x1=5+5 174 ， x2=5－ 5 174 0（舍去）， ∴ E3(5+5 174 ， 0)； ③當(dāng)交點(diǎn) E 在 O 的左側(cè)時(shí)， ∵∠ BOA=∠ EOF∠ ECF ∴要使△ ECF 與 △ BAO 相似，只能使∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE，得 BE=12AD=AB， ∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ ECF=∠ BEA， ∴ CF//BE， ∴ CFBE=OCOE， 又∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴△ CEF∽ △ AED，∴ CEAE=CFAD， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， ∴ 52x= x+5 10+x，解得 x1=－ 5+5 174 ， x2=－ 5－ 5 174 0（舍去）， ∵點(diǎn) E 在 x 軸負(fù)半軸上，∴ E4(5－ 5 174 ， 0)， 綜上所述：存在以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB 相似，此時(shí)點(diǎn) E坐標(biāo)為： ∴ E1(52， 0)、 E2(103 ， 0)、 E3(5+5 174 ， 0)、 E4(5－ 5 174 ， 0). 10． （ 2020江西， 21， 8分）如圖，已知 ⊙ O的半徑為 2，弦 BC 的長(zhǎng)為 23，點(diǎn) A為弦 BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（ B， C 兩點(diǎn)除外）。= 23 ， cos30176。= 33 .） 【答案】 （ 1）過(guò)點(diǎn) O 作 OD⊥ BC 于點(diǎn) D, 連接 OA. 因?yàn)?BC=23，所以 CD=12BC= 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ =CDOC