【正文】 用于建造一個花園，設(shè)計(jì)要求 .花園面積為空地面積的一半，且整體圖案成軸對稱圖形 ． ⑴小明的設(shè)計(jì)方案如圖 2－ 2－ 19 所示，其中花園四周是人行道 ，且人行道的寬度都相等 .你知道人行道的寬度是多少嗎？請通過計(jì)算，給予回答 ． ⑵其實(shí)，設(shè)計(jì)的方案可以是多種多樣的 .請你按設(shè)計(jì)要求，另設(shè)計(jì)一種方案 ． 解：⑴設(shè)人行道寬為 x m，根據(jù)題意，得 (16?2x)(12?2x) ＝ 21 ?16?12． 解之，得 x1 ＝ 2， x2 ＝ 12(舍去 ) 答：人行道的寬為 2m． ⑵符合要求和答案很多，如圖 2－ 2－ 20 的① ~④都是 . 其中圖①中的花園是底邊長為16m 的等腰三角形 .圖②中的花園是兩個底邊長為 8m 的等腰三角形 .圖③中的花園是頂點(diǎn)分別是矩形中點(diǎn)的菱形 .圖④中的花園是上底與下底之 和為 16 的等腰梯形 ． 19 (2020年山東省濰坊市中考題 )如圖 2－ 2－ 21，河邊有一條筆直的公路 l ，公路兩側(cè)是平坦的草地．在數(shù)學(xué)活動課上，老師要求測量河對岸 B 點(diǎn)到公路的距離，請你設(shè)計(jì)一個測量方案 .要求： ⑴列出你測量所使用的測量工具； 花園 ① 花園 花園 ② 花園 花園 ③ ④ 圖 2220 公路 圖 2221 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 ⑵畫出測量的示意圖，寫出測量的步驟； ⑶用字母表示測得的數(shù)據(jù)，求出 B 點(diǎn)到公路的距離 . 解： 本例屬于測量問題的方案設(shè)計(jì)題 .⑴ 測角器、尺子； ⑵ 測量示意圖見圖 2－ 2－ 22； 測量步驟： ①在公路上取兩點(diǎn) C、 D，使∠ BCD、∠ BDC 為銳角； ②用 測角器測出∠ BCD＝ ?，∠ BDC＝ ∠ ?； ③用尺子測得 CD 的長，記為 m 米； ④計(jì)算求值． ⑶解：設(shè) B 到 CD 的距離為 x 米， 作 BA⊥ CD 于點(diǎn) A，在△ CAB 中， x＝ CAtan?， 在△ DAB 中， x＝ ADtan?， ∴ CA＝?tanx， AD＝?tanx． ∵ CA＋ AD＝ m， ∴??? tanxtanx＝ m， ∴ x＝ m cotα＋ AD． ∴ 2AB AE162。 10＝ 160（厘米），所以九年 級全體女生的平均身高約是 160 厘米． （ 2）這 10 名女生的身高的中位數(shù)是 161 厘米，眾數(shù)是 162 厘米． （ 3）先將九年級中身高為 162 厘米的所有女生挑選出來作為參加旗隊(duì)的女生，如此進(jìn)行下去，直至挑選到 30 人為止． （三）測量設(shè)計(jì)題 例 6．（ 07 潛江等）經(jīng)過江漢平原的滬蓉 (上海 — 成都 )高速鐵路即將動工 .工程需要測量漢江某一段的寬度 .如圖①，一測量員在江岸邊的 A 處測得對岸岸邊的一根標(biāo)桿 B 在它的正北方向，測量員從 A 點(diǎn)開始沿岸邊向正東方向前進(jìn) 100 米到達(dá)點(diǎn) C 處，測得 ?68??ACB ． （ 1）求所測之處江的寬度（ . a n, o s, i n ??? ??? ）； （ 2）除（ 1）的測量方案外，請你再設(shè)計(jì)一種測量江寬的方案，并在圖②中畫出圖形． 解： （ 1）在 BACRt? 中， ?68??ACB ， ∴ a n ????? ?ACAB （米） 答：所測之處江的寬度約為 248 米 （ 2）從所畫出的圖形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知識 來解決問題的，只要正確即可得分． 例 7．（ 07 樂山）如圖（ 14），小山上有一棵樹．現(xiàn)有測角儀和皮尺兩種測量工具，請你設(shè)計(jì)一種測量方案，在山腳水平地面上測出小樹頂端 A 到水平地面的距離 AB ． 要求： （ 1）畫出測量示意圖； （ 2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用 字母表示）； （ 3）根據(jù)（ 2）中的數(shù)據(jù)計(jì)算 AB ． A C B 圖 ① 圖 ② A B 圖（ 14） 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 解：（ 1）測量圖案（示意圖）如圖示 （ 2）測量步驟： 第一步：在地面上選擇點(diǎn) C 安裝測角儀， 測得此時樹尖 A 的仰角 AHE ??∠ ， 第二步：沿 CB 前進(jìn)到點(diǎn) D ，用皮尺量 出 CD， 之間的距離 CD m? ， 第三步：在點(diǎn) D 安裝測角儀，測得此 時樹尖 A 的仰角 AFE ??∠ ， 第四步：用皮尺測出測角儀的高 h （ 3）計(jì)算： 令 AE x? ，則 tan xHE?? ，得 tanxHE ?? ， 又 tan xEF?? ，得tanxEF ??， H E F E H F C D m? ? ? ?， ta n ta nxx m??? ? ?， 解得 tan tantan tanmx ????? ?， tan tantan tanmA B h????? ? ??． 例 8（ 07 資陽） 一 座 建于 若干 年 前 的水庫大壩的橫斷面 如圖 7 所示 ，其中背水面的整個坡面是長為 90 米、寬為 5 米的矩形 . 現(xiàn) 需將其整修 并進(jìn)行美化 ，方案如下： ① 將背水 坡 AB 的坡 度 由 1∶ 改為 1∶ 3 ； ② 用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面 分成 9 塊相同的矩形區(qū)域 ， 依次 相間 地 種草與栽花 ． ⑴ 求整修后 背水坡 面的 面積 ； ⑵ 如果 栽花 的成本是 每平方米 25 元，種草 的成本是 每平方米 20 元， 那么種植花草至少需要多少元？ 解： ⑴ 作 AE⊥ BC 于 E． ∵ 原來的坡 度 是 1∶ ， ∴ = ＝ 43 ． 設(shè) AE＝ 4k， BE＝ 3k， ∴ AB＝ 5k， 又 ∵ AB＝ 5 米 ， ∴ k＝ 1，則 AE＝ 4 米 ． 設(shè)整修后的 斜 坡為 AB162。 ， 由整修后 坡 度 為 1∶ 3 ， 有 13AEEB=162。==8 米 . ∴ 整修后 背水坡面 面積為 908 ＝ 720 米 2 ． ⑵ 將整修后 的背水坡面 分為 9 塊相同的矩形 ，則每一 區(qū)域的面積 為 80 米 2 ． A E F H C D B 圖 7 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 解法一： ∵ 要 依次 相間地種 植 花草 ， 有兩種方案 ： 第一種是種草 5 塊，種花 4 塊， 需要 20580＋ 25480＝ 16000 元 ； 第二種是種花 5 塊，種草 4 塊， 需要 20480＋ 25580＝ 16400 元 ． ∴ 應(yīng)選擇種草 5 塊 、 種花 4 塊 的方案，需要花費(fèi) 16000 元 ． 解法二： ∵ 要 依次 相間地種 植 花草 ，則必然有一種是 5 塊，有一種是 4 塊，而 栽花 的成本是 每平方米 25 元，種草 的成本是 每平方米 20 元 ， ∴ 兩種方案中， 選擇種草 5 塊 、 種花 4 塊 的方案花費(fèi)較少 ． 即：需要花費(fèi) 20580＋ 25480＝ 16000 元 ． （四）圖形設(shè)計(jì)題 例 9．（ 07 四川樂山）認(rèn)真觀察圖（ ）的 4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題： （ 1）請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征． 特征 1： _________________________________________________； 特征 2： _________________________________________________． （ 2）請?jiān)趫D（ ）中設(shè)計(jì)出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征 解：（ 1）特征 1：都是軸對稱圖形；特征 2：都是中心對稱圖形；特征 3：這些圖形的面積都等于 4 個單位面積；等 （ 2）滿足條件的圖形有很多，只要畫正確一個，都可以得滿分． 例 10（ 07 福建福州）為創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校決定對一塊正方形的空地進(jìn)行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖案．圖案要求 只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì) ，使正方形和所畫的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對稱圖形又是 中心對稱圖形．種植花草部分用陰影表示．請你在圖 ③ 、圖 ④ 、圖 ⑤ 中畫出三種不同的的設(shè)計(jì)圖案． 提示：在兩個圖案中，只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種，例如：圖 ① 、圖 ② 只能算一種． 圖（ ） 圖（ ） ① ② ③ ④ ⑤ 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 解：以下為不同情形下的部分正確畫法，答案不唯一．（滿分 8 分） 三、知識鞏固訓(xùn)練 1．（ 05 日照）一位園藝設(shè)計(jì)師計(jì)劃在一塊形狀為直角三角形 且有一個內(nèi)角為 60o 的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的幾何圖形圖案．某同學(xué)為此提供了如圖所示的五種設(shè) 計(jì)方案．其中可以滿足園藝設(shè)計(jì)師要求的有（ C ） （ A） 2 種 （ B） 3 種 （ C） 4 種 （ D） 5 種 2（ 05海安）光明中學(xué)的 6 名教師帶領(lǐng) 8 名市三好學(xué)生到蘇州園林參觀學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)門票有這樣幾種優(yōu)惠方案．（ 1）學(xué)生可憑學(xué)生證享受 6 折優(yōu)惠．（ 2） 20 人以上的團(tuán)體隊(duì)可享受 8 折優(yōu)惠．（ 3）通過協(xié)商可以享受 9折優(yōu)惠．請同學(xué)們根據(jù)上述優(yōu)惠途徑，設(shè)計(jì)出五種不同的優(yōu)惠方案，并說明最佳方法． 解：設(shè)計(jì)五種優(yōu)惠方案的方法及注意點(diǎn)： 方法（ 2）不可以采用；部分或全部學(xué)生使用方法（ 1），其余學(xué)生和所有老師使用 方法（ 3）． 最佳方法為： 8 名學(xué)生使用方法（ 1）， 6 名老師使用方法（ 3）． 3（ 05 紹興市）．班委會決定，由小敏、小聰兩人負(fù)責(zé)選購圓珠筆、鋼筆共 22 支，送給結(jié)對的山區(qū)學(xué)校的同學(xué)，他們?nèi)チ松虉?，看到圓珠筆每支 5 元，鋼筆每支 6 元． （ 1） 若他們購買圓珠筆、鋼筆剛好用去 120 元，問圓珠筆、鋼筆各買了多少支？ （ 2） 若購圓珠筆可 9 折優(yōu)惠，鋼筆可 8 折優(yōu)惠，在所需費(fèi)用不超過 100 元的前提下，請你寫出一種選購方案． 解：（ 1）設(shè)買了 x 支圓珠筆，則有 5x＋ 6(22－ x)＝ 120，解得： x＝ 12， 22－ x＝ 10． 圓珠筆、鋼筆各買了 1 10 枝． 哈爾濱師范大學(xué)鄭德楊官方網(wǎng)站 （ 2）答案不惟一．如：圓珠筆、鋼筆各買了 1 3 枝等等． 4（ 05 茂名）．今年 6 月份，我市某果農(nóng)收獲荔枝 30 噸，香蕉 13 噸，現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共 10 輛將這批水果全部運(yùn)往深圳，已知甲種貨車可裝荔枝 4 噸和香蕉 1 噸，一種貨車可裝荔枝香蕉各 2 噸； （ 1） 該果農(nóng)按排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設(shè)計(jì)出來（ 6 分） （ 2） 若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi) 2020元，乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi) 1300 元，則該果農(nóng)應(yīng)選擇哪種方案？使運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少元？（ 4 分） 解： 解：（ 1）設(shè)安排甲種貨車 x 輛，則安排 乙種貨車（ 10－ x）輛，依題意，得 ??? ??? ??? 13)10(2 30)10(24 xx xx 解這個不等式組，得 ?????75xx 75 ??? x x? 是整數(shù)， ?x 可取 7， 既安排甲、乙兩種貨車有三種方案： ① 甲種貨車 5 輛，乙種貨車 5 輛； ② 甲種貨車 6 輛，乙種貨車 4 輛； ③ 甲種貨車 7 輛，乙種貨車 3 輛； （ 2）方法一：由于甲種貨車的運(yùn)費(fèi)高于乙種貨車的運(yùn)費(fèi)，兩種貨車共 10 輛， 所以當(dāng)甲種貨車的數(shù)量越少時，總運(yùn)費(fèi)就越少，故該果農(nóng)應(yīng) 選擇① 運(yùn)費(fèi)最少，最少運(yùn)費(fèi)是 16500 元 ； 方法二：方案①需要運(yùn)費(fèi) 2020 5＋ 1300 5＝ 16500（元） 方案②需要運(yùn)費(fèi) 2020 6＋ 1300 4＝ 17200（元） 方案③需要運(yùn)費(fèi) 2020 7＋ 1300 3＝ 179