【正文】 實上，如果對于矩陣的特征值能夠分離得很清楚，就可以利用原點平移法求得矩陣的所有特征值及其相應(yīng)的特征向量。 對于參數(shù) p 的選擇依賴于對矩陣 A 特征值分布的大致了解。設(shè) A 的特征值為 12, , , ,n? ? ? 則 B 的相應(yīng)特征值為 12, , , ,np p p? ? ?? ? ?而且 A ， B 的特征向量相同。當(dāng)它接近于 1 時收斂是很慢的。 3 常見的幾種加速算法 定理 設(shè) nnAC?? ,p 個互不相同的特征值滿足 12 ,n? ? ?? ? ?并且模最大特征值 1? 是半單的（即 1? 的幾何重數(shù)等于它的代數(shù)重數(shù)）。因而我們需要通過用加速算法來加快收斂速度，讓實際問題提前或者按時完成。 迭代格式： 1,kky Au ?? ? ? ? ?,kkk j j? ? ?? 是 ky 的模最大分量， ,kk kyu ?? 其中 0 nuC? 是任意給定的初始向量，通常要求 0 ?? 定理 設(shè) nnAR?? 有 n 個線性無關(guān)的特征向量，主特征值 1? 滿足 12 ,n? ? ?? ? ?則對任何非零初始向量 ? ?0 0 1 0,vu???按下面構(gòu)造的向量序列 ? ?? ?,:kkuv ? ?0010,1 , 2 , ,m a x( ) ,kkkkkkkvuv A ukvvu??????? ???????? ???則有 (1) ? ?11lim ,m axkkxu x?? ? (2)1lim .kk ???? ? (注：此定理證明參閱文獻(xiàn) [5]) 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 3 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 例 1． 計算矩陣 4 14 05 13 01 0 2A??????????的主特征值。它適用于大型稀疏矩陣。并且通過算法的實現(xiàn)來說明那種加速算法收斂得快，哪個計算量比較節(jié)省。 關(guān)鍵詞： 冪法 ；原點平移加 速； Rayleigh商加速； Aitken加速算法 167。物理、力學(xué)和工程技術(shù)中有許多需要我們求矩陣的按模最大的特征值（及稱為主特征值）和特征向量。冪法是計算一個矩陣的模最大特征值和對應(yīng)的特征向量的一種迭代方法。1 引言 我們來介紹矩陣特征值和特征向量的計算方法，大家知道求一個矩陣的特征值的問題實質(zhì)上是求一個多項式的根的問題，而數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明 5 階以上的多項式的根一般不能用有限次運算求得。 其實 本文 主要討論的問題是一個應(yīng)用中常見的一類數(shù)值計算問題。 為了說明其基本思想我們先假設(shè) nnAC?? 是可對角化的，即 A 有如下分解 1A X X??? 其中 ? ? ? ?1 1 2, , , , , nnnd ia g X x x C?? ?? ? ? ? 非奇異，再假定 12 .n? ? ?? ? ? 現(xiàn)任取一向量 0 .nuC? 由于 X 的列向量構(gòu)成 nC 的一組基， 故 0u 可表示為 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 2 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 0 1 1 2 2 ,nnu x x x? ? ?? ? ? ?這里 .i C?? 這樣，我們有 0211 1 12 1nkkjjjnkj j jjknjkjjjA u A xxxx????? ? ??????????????? ????????? 由此可知 0111lim .kkk Au x???? ? 這表明，當(dāng) 1 0?? 而且 k 充分大時，向量 01kk kAuu ??這是 A 的一個很好的近似特征向量。 用冪法求解矩陣 A的計算結(jié)果如下表 K max( )kv 1 2 3 24 25 26 27 由此求得主特征值 .? ? 物理，力學(xué)和工程技術(shù)中的很多問題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為求矩陣特征值問題。為了加快冪法求解矩陣主特征值的收斂速度，讓冪法更有效廣泛的運用在實際應(yīng)用生活中，我們現(xiàn)在就來認(rèn)識幾種加速方法，如原點平移法、 Rayleigh商加速、 Aitken 加速算法、一種改進(jìn)的 Aitken 加速算法和一種 新的改進(jìn)的 Aitken加速算法并且對他們進(jìn)行比較，看哪種加速方法收斂得快，哪種計算量比較節(jié)省等。如果初始向量 0u 在 1? 的特征子空間上的投影不為零，則定理（ ） 產(chǎn)生的向量序列 ??ku 收斂到 1? 的一個特征向量 1x ，而且由定理（ ） 產(chǎn) 生的數(shù)值序列 ??k? 收斂到 1? 。所以為了加快冪法的收斂速度，通常用位移的方法，即應(yīng)用冪法于 AI?? 上。 如果需要計算 A 的主特征值 1? ，就要適當(dāng)選擇 p ，使 1 p?? 仍然是 B 的主特征值，且使 2211.pp??? ?? 對 B 應(yīng)用冪法，使得在計算 B 的主特征值 1 p?? 的過程中得到加速。通常可以用 Gerschgorin（蓋爾）圓盤定理得到矩陣 A 的特征值分布情況。但需要說明的是，雖然常常能夠選擇有 利的 p 值，使冪法得到加速，但設(shè)計一個自動選擇適當(dāng)參數(shù) p 的過程是困難的。 Rayleigh商加速 定義 設(shè) A 為 n 階實對稱矩陣，對于任一非零向量 x ，稱 ? ? ? ?? ?,Ax xRx xx? 為對應(yīng)于向量 x 的 Rayleigh商。下面我們將把 Rayleigh共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 6 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 商應(yīng)用到用冪法計算實對稱矩陣 A 的主特征值的加速收斂上來。具體算法偽代碼如下 : (1) 輸入 ? ?,ijAa? 初始向量 ? ?12, , , ,nx x x x? 誤差限 ? ,最大迭代次數(shù) N . (2) 置 001, 0, ?? ? ? (3) 求整數(shù) r ,使11m a x , .r i rinx x x a???? (4) 計算 ,xy x Aya??置 ? 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 7 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 (5) 計算 ? ? .2a 012210 aaa aa n?? ???? (6) 若 ,0 ??? ?? 輸入 ,x? 停機；否則轉(zhuǎn)（ 7） . (7) 若 .kN? 置 1 0 2 1 0, , , 1a a a a k k??? ? ? ? ?轉(zhuǎn)（ 3）；否則停止 . 例 2． 用此加速算法計算矩陣 4 14 05 13 01 0 2A??????????的主特征值。 具體的解釋說明請關(guān)注附錄。 167。 該方法適用于求解最大特征值和相應(yīng)的特征向量，一般情況下收斂速度是二階，矩陣對稱正定時到達(dá)三階。 （ 4）改進(jìn)的 Aitken加速 算 法由于 沒有達(dá)到加速的目的，所以我們現(xiàn)在還不能用此 改進(jìn)的加速算法。而本文 介紹的改進(jìn)的 Aitken加速還需要進(jìn)一步完善。i++)if(maxfabs(v[i])){index=i。 for(int i=0。 } double vector_infty_norm(const int n,const double *v) { double value=fabs(v[0])。 } 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 11 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 return value。 vector=new double [m]。 return vector。//先定義兩個向量，分別存儲乘冪前后的迭代向量 。//存放主特征向量 。i++)eig[1][i]=1+i。 do{ step++。//規(guī)范化，防止特征值大的時候計算機存儲有溢出； for(i=0。//乘冪；