【正文】 npppp? ? ??? ? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? 當(dāng) A 的特征值滿 足（ ）且 2, n??能初步估計時，我們就能確定 p? 的近似值。但是在實際應(yīng)用中，由于冪法針對的大多是大型矩陣，而計算速度要求較快，精度要求較高，傳統(tǒng)的 Aitken方法越來越不能滿足需要。所以我又參閱文獻 [7]了解到一種 解非線性方程的新算法 ， 經(jīng)過反復(fù) 與本文對比發(fā)現(xiàn)此 新算法可以 推及應(yīng)用 到 求矩陣的主特征值上， 具體計算步驟如下： (1) 輸入 ? ?,ijAa? 初始向量 ? ?12, , , ,nx x x x? 誤差限 ? ,最大迭代次數(shù) N . (2) 置 01, ??? (3) 求整數(shù) r ,使01m a x , .r i rinx x x a???? (4) 計算0 ,xy x Aya??置 ? 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 9 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 (5) 置.210 2 aaa ?? (6) 計算1 ,xy x Aya??置 ? (7) 計算 ? ? .(a120302020 aaaa aaaa ??? ???? ）? (8) 若 ,0 ??? ?? 輸入 ,x? 停機；否則轉(zhuǎn)（ 7） . (9) 若 .kN? 置 1 0 2 1 0, , , 1a a a a k k??? ? ? ? ?轉(zhuǎn)（ 3）；否則停止 . 例 4 14 05 13 01 0 2A??????????的主特征值。 (3)Aitken加速 算 法比原點平移加速收斂得更快，而且它的計算量也不是太大。 for(int i=0,index=0。i++)value+=u[i]*v[i]。 m,const intamp。 n,double **A,double *v) { return matrix_multiply_vector(n,n,A,v)。 for(int i=0。 //double norm=vector_1_norm(n,eig[1])。//計算這次乘冪后最大分量與乘冪前該分量的比值； //cout第 step++步，分量 v[index] = v[index], vv[index] = vv[index],主特征值 lambda的近似值為： lambdaendl。step10000)。 cout請輸入 n X n 的矩陣元素： endl。 cout矩陣主特征值為： eig[0][0]endl。i++)if(maxfabs(v[i])){index=i。 } double vector_infty_norm(const int n,const double *v) { double value=fabs(v[0])。 vector=new double [m]。//先定義兩個向量，分別存儲乘冪前后的迭代向量 。i++)eig[1][i]=1。jn。//Aitken method。 } void main() { (16)。i++) 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 15 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 { A[i]=new double[n]。in。 } double vector_inner_product(const int n,const double *u,const double *v) { double value=0。i++) { if(valuefabs(v[i]))value=fabs(v[i])。i++)vector[i]=vector_inner_product(n,A[i],v)。 eig[1]=new double[n]。//定義一個指標(biāo)變量，來提取乘冪后的最大分量指標(biāo)； double e=1e14。j++)eig[1][j]/=a0。jn。 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 17 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 couta3endl。 lmd0=lmd。 for(i=0。 cout矩陣主特征向量為： endl。39。 Origin of translational acceleration。他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)，優(yōu)良的作風(fēng)和敬業(yè)的態(tài)度，為我們樹立了為人師表的典范。 23nnnnn n nppqp p p p?????? ?? 121lim 1nnn pp?????? ?? ? ? ? ?2 1 1l im l im 0n n n nnnp p p p? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 212123lim 1n n nn nnp p ppp???? ???? ?? ? ? ? ?22112 1 2 139。 } double **eig=matrix_principal_eigen(n,A)。 double **A=new double*[n]。 cout經(jīng)過 i步計算，求得主特征值為： lmdendl。jn。couta2endl。 for(int j=0。//用（ 1,2,...,n)作為初始試探向量 v； double a0=0,a1=0,a2,a3,lmd,lmd0=1。 eig[0]=new double[1]。 for(int i=0。 for(int i=1。max=fabs(v[i])。 cout矩陣主特征向量為： endl。 for(i=0。 lmd0=lmd。//NewAitken method。 a=fabs(eig[1][index])。 for(int i=0。 n,double **A,double *v) { return matrix_multiply_vector(n,n,A,v)。 m,const intamp。i++)value+=u[i]*v[i]。 for(int i=0,index=0。j++)cinA[i][j]。 cinn。//x循環(huán)終止條件為三選一； }while(fabs((eig[0][0]old_lambda)/eig[0][0])1e8amp。//乘冪； index=vector_max_ponent(n,eig[1])。 do{ step++。//存放主特征向量 。 return vector。 } 共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 11 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 return value。 for(int i=0。而本文 介紹的改進的 Aitken加速還需要進一步完善。 該方法適用于求解最大特征值和相應(yīng)的特征向量，一般情況下收斂速度是二階，矩陣對稱正定時到達(dá)三階。 具體的解釋說明請關(guān)注附錄。下面我們將把 Rayleigh共 19 頁 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 6 頁 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 商應(yīng)用到用冪法計算實對稱矩陣 A 的主特征值的加速收斂上來。但需要說明的是，雖然常常能夠選擇有 利的 p 值，使冪法得到加速，但設(shè)計一個自動選擇適當(dāng)參數(shù) p 的過程是困難的。 如果需要計算 A 的主特征值 1? ，就要適當(dāng)選擇 p ，使 1 p?? 仍然是 B 的主特征值，且使 2211.pp??? ?? 對 B 應(yīng)用冪法，使得在計算 B 的主特征值 1 p?? 的過程中得到加速。如果初始向量 0u 在 1? 的特征子空間上的投影不為零，則定理（ ） 產(chǎn)生的向量序列 ??ku 收斂到 1? 的一個特征向量 1x ，而且由定理（ ） 產(chǎn) 生的數(shù)值序列 ??k? 收斂到 1? 。 用冪法求解矩陣 A的計算結(jié)果如下表 K max( )kv 1 2 3 24 25 26 27 由此求得