【正文】 點(diǎn)平移法求得矩陣的所有特征值及其相應(yīng)的特征向量。但需要說(shuō)明的是，雖然常常能夠選擇有 利的 p 值，使冪法得到加速，但設(shè)計(jì)一個(gè)自動(dòng)選擇適當(dāng)參數(shù) p 的過(guò)程是困難的。下面考慮 A 的特征值是實(shí)數(shù)時(shí)，怎樣選擇 p 使冪法計(jì)算 1? 得到加速。 共 19 頁(yè) 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 5 頁(yè) 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 設(shè) A 的特征值滿足 1 2 1 ,nn? ? ? ??? ? ? ? （ ） 則不管 p 如何， B A pI?? 的主特征值為 1 p?? 或 .n p?? 當(dāng)我們希望計(jì)算 1? 及 1x 時(shí)，首先應(yīng)選擇 p使 1 ,npp??? ? ? 且使收斂速度的比值 1 p?? 211m a x , m innpp??? ???????????? 顯然，當(dāng) 211,n pppp?????? ???即 1 2 npp?? ????時(shí) ? 為最小，這時(shí)收斂速度的比值為 221 1 1 2 .2nnnpppp? ? ??? ? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? 當(dāng) A 的特征值滿 足（ ）且 2, n??能初步估計(jì)時(shí)，我們就能確定 p? 的近似值。 當(dāng)希望計(jì)算 n? 時(shí)，應(yīng)選擇 11 ,2 npp?? ????? 使得應(yīng)用冪法計(jì)算 n? 得到加速。 Rayleigh商加速 定義 設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于任一非零向量 x ，稱 ? ? ? ?? ?,Ax xRx xx? 為對(duì)應(yīng)于向量 x 的 Rayleigh商。 定理 設(shè) nnAR?? 為對(duì)稱矩陣（其特征值次序記為 1 2 1nn? ? ? ??? ? ? ?）則 （ 1） ? ?? ?1,n Ax xxx???? (對(duì)任何非零 nxR? )； （ 2） ? ?? ?1 ,0 ,m ax 。,nx R x Ax xxx? ??? （ 3） ? ?? ?,0,m in 。,nn x R xAx xxx???? （注：此定理證明參閱文獻(xiàn) [5]） 由定理 ，對(duì)稱矩陣 A 的 1? 及 n? 可用 Rayleigh商的極值來(lái)表示。下面我們將把 Rayleigh共 19 頁(yè) 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 6 頁(yè) 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 商應(yīng)用到用冪法計(jì)算實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的主特征值的加速收斂上來(lái)。 定理 設(shè) nnAR?? 為對(duì)稱矩陣，特征值滿足 1 2 1 ,nn? ? ? ??? ? ? ? 對(duì)應(yīng)的特征向量滿足 ? ?,i j ijxx ??應(yīng)用冪法（公式（ ））計(jì)算 A 的主特征值 1? ，則規(guī)范化向量ku 的 Rayleigh商給出 1? 的 ? ?? ? 221 1, .,kkkkkAu uuu ?? ???????? ? ? ???? （注：此定理證明參閱 [5]） Aitken加速算法 Aitken加速算法在諸多方面得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是從 對(duì)冪法 加速 的諸多方法中突穎而出。但是在實(shí)際應(yīng)用中，由于冪法針對(duì)的大多是大型矩陣，而計(jì)算速度要求較快，精度要求較高，傳統(tǒng)的 Aitken方法越來(lái)越不能滿足需要。 Aitken加速 算 法 設(shè)序列??0}{ nnP線性收斂到極限 p ，而且對(duì)所有 0,n? 有 ??如果存在實(shí)數(shù) A ，且 1,A?滿足： 1lim .nnnpp App???? ?? 則定義為 ? ?21212nnnnn n nppqp p p p?????? ?? 的序列 ? ?0n nq ??收斂到 p ，且比 ? ?0n np ??快，而且 lim npppq??? ?? 算法實(shí)現(xiàn) :把上述方法應(yīng)用于冪法迭代格式中的序列 ? ???1kkx 即可做到對(duì)冪法的加速。具體算法偽代碼如下 : (1) 輸入 ? ?,ijAa? 初始向量 ? ?12, , , ,nx x x x? 誤差限 ? ,最大迭代次數(shù) N . (2) 置 001, 0, ?? ? ? (3) 求整數(shù) r ,使11m a x , .r i rinx x x a???? (4) 計(jì)算 ,xy x Aya??置 ? 共 19 頁(yè) 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 7 頁(yè) 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 (5) 計(jì)算 ? ? .2a 012210 aaa aa n?? ???? (6) 若 ,0 ??? ?? 輸入 ,x? 停機(jī)；否則轉(zhuǎn)（ 7） . (7) 若 .kN? 置 1 0 2 1 0, , , 1a a a a k k??? ? ? ? ?轉(zhuǎn)（ 3）；否則停止 . 例 2． 用此加速算法計(jì)算矩陣 4 14 05 13 01 0 2A??????????的主特征值。 計(jì)算結(jié)果如下表 K max( )kv 1 2 3 4 11 12 13 14 15 16 由此 A的主特征值 000000091.? ? Aitken加速 算 法 文獻(xiàn) [6]給出一種改進(jìn)的 Aitken 算法， 具體算法偽代碼如下 : (1) 輸入 ? ?,ijAa? 初始向量 ? ?12, , , ,nx x x x? 誤差限 ? ,最大迭代次數(shù) N . (2) 置 0 1 01, 0 , 1 .k a a ?? ? ? ? (3) 求整數(shù) r ,使1m ax , .r i rinx x x a???? (4) 計(jì)算 ,xy x Aya??置 ? (5) 計(jì)算 ? ?2100 2 1 aaa a a? ??? ?? 共 19 頁(yè) 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 8 頁(yè) 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 (6) 若 ,0 ??? ?? 輸入 ,x? 停機(jī)；否則轉(zhuǎn)（ 7） . (7) 若 .kN? 置 1 0 2 1 0, , , 1a a a a k k??? ? ? ? ?轉(zhuǎn)（ 3）；否則停止 . 例 3． 用此改進(jìn)的加速算法計(jì)算矩陣 4 14 05 13 01 0 2A??????????的主特征值。 計(jì)算結(jié)果如下表格 ： K max( )kv 1 2 3 4 36 37 38 39 40 41 由此得到結(jié)果 99 99 99 99 3.? ? 經(jīng)過(guò)比較我發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的加速算法還不如不改進(jìn)的。所以我 重新閱讀了文獻(xiàn) [6]發(fā)現(xiàn)證明中有一步 假設(shè)是不合適 的，而定理的結(jié)論是依賴于這個(gè)假設(shè)的，因此，我們認(rèn)為，這樣的算法 在 實(shí)際應(yīng)用中不 具有應(yīng)用價(jià)值 。 具體的解釋說(shuō)明請(qǐng)關(guān)注附錄。 Aitken加速算法 由于改進(jìn)的加速?zèng)]有達(dá)到我們想要的結(jié)果。所以我又參閱文獻(xiàn) [7]了解到一種 解非線性方程的新算法 ， 經(jīng)過(guò)反復(fù) 與本文對(duì)比發(fā)現(xiàn)此 新算法可以 推及應(yīng)用 到 求矩陣的主特征值上， 具體計(jì)算步驟如下： (1) 輸入 ? ?,ijAa? 初始向量 ? ?12, , , ,nx x x x? 誤差限 ? ,最大迭代次數(shù) N . (2) 置 01, ??? (3) 求整數(shù) r ,使01m a x , .r i rinx x x a???? (4) 計(jì)算0 ,xy x Aya??置 ? 共 19 頁(yè) 河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué) 學(xué)院 本科畢業(yè)論文 第 9 頁(yè) 指 導(dǎo) 教 師 ： 牛 海 峰 學(xué) 生 ： 傅 鵬 (5) 置.210 2 aaa ?? (6) 計(jì)算1 ,xy x Aya??置 ? (7) 計(jì)算 ? ? .(a120302020 aaaa aaaa ??? ???? ）? (8) 若 ,0 ??? ?? 輸入 ,x? 停機(jī)；否則轉(zhuǎn)（ 7） . (9) 若 .kN? 置 1 0 2 1 0, , , 1a a a a k k??? ? ? ? ?轉(zhuǎn)（ 3）；否則停止 . 例 4