【正文】 已知齊次線性方程組 1 2 31 2 31 2 32 2 03 7 6 04 8 0x x xx x xx x x?? ? ???? ? ???? ? ?? 有非平凡解，求 ? 的值。 解一個(gè)線性方程 組最基本的方法是所謂“ 加減 消元法” 。 利用矩陣初等變換解線性方程組就是將方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換，從而得到與原 方程組同解的梯形 線性方程組。 定義 2：設(shè)向量組 T。 解： （ b1,b2,b3） = 1 1 13 2 11 2 3?????????? 32r r? 1 1 10 1 20 1 2????????? 23325rrrr?? 1 1 10 1 20 0 0???????? r（ b1,b2,b3） =2,向量組 b1,b2,b3 線性相關(guān)； r（ b1,b2） =2，向量組 b1,b2 線性無關(guān)。該行階梯矩陣每個(gè)非零行第一個(gè)非零元所在的列為第 1， 2， 4 列，所 以， 向量組的一個(gè) 極 大線性無關(guān)組為 1 2 4,? ? ? ，且 3 1 2? ? ???， 5 1 2 42? ? ? ?? ? ?。 我們 設(shè) 1 1 1 1 2 1 2 1 ,nna a a? ? ? ?? ? ? ? 2 12 1 22 2 2 ,nna a a? ? ? ?? ? ? ? 1 1 2 2 .n n n nn na a a? ? ? ?? ? ? ? 這里 ( 12, , ,j j nja a a )就是 j? 關(guān)于基 ? ?12, n? ? ? 的坐標(biāo)。求由 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 到 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 的過渡矩陣。此法的優(yōu)點(diǎn)是：經(jīng)初等變換后可同時(shí)求出對(duì)角陣 ? 及所用的非退化線性變換矩陣 P，從而直接寫出所用的非退化的線性變換。 在工程數(shù)學(xué)教材中 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 一般是采用正交換法或配方法 ，求解過程較繁 ， 特別是施密特正交化過程公式 ，較易忘記 。 [5]盧剛：線性代數(shù)，高等教育出版社 ， 2020 年 。 APPLICATIONS OF ELEMENTARY TRANSFORMATION OF MATRIX JINA Yang Abstract: Elementary transformation is very important in studying advanced algebra and linear algebra, and it is widely used to solve the problem. This article enumerates several examples of elementary transformation of matrix, including solving the rank of the matrix、 determining whether a matrix is reversible and solving inverse matrix、 determining the structure of solutions of the group of linear equations、 solving the basic set of solutions or the general solutions to the group of linear equations、 proving the linear relevance of the vector and solving maximal linearly independent、 solving the Transition matrix of two basis in vector space、 changing quadratic form to stand form, and it explains how the elementary transformation of matrix is used in these applications by some concrete examples. Key words: matrix。 評(píng)閱人 簽字 評(píng)閱意見 指導(dǎo)教師評(píng)語頁 論文 （設(shè)計(jì)） 題目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 作 者 荊山玉 指導(dǎo)教師 林立軍 職 稱 副教授 評(píng) 語 該同學(xué)能在老師的嚴(yán)格要求下順利完成整個(gè)畢業(yè)論文的撰寫 ，態(tài)度端正，能按時(shí)完成任務(wù)。 你寫這篇論文時(shí)參考了哪些書籍和有關(guān)資料？ 答：除了大學(xué)學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)的教材還包括西北大學(xué)高等代數(shù)編寫組編寫的《高等代數(shù)》、盧剛編寫的《線性代數(shù)》等關(guān)于高等代數(shù)和線性代數(shù)及其應(yīng)用方面的書籍，以及線性代數(shù)的習(xí)題解析等書籍。 秘書簽名 ： 年 月 日 論文（設(shè)計(jì)）答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ） 論文（設(shè)計(jì)）最終等級(jí)： 答辯小組組長簽名： 答辯委員會(huì)主席簽名： 。在很多方面都要用到初等變換，覺得掌握好初等變換對(duì)代數(shù)的學(xué)習(xí)特別有幫助。 該論文文字條理清晰、書寫工整，說明論述充分，理論證明全實(shí)，文字通順，符合技術(shù)用語要求，符號(hào)統(tǒng)一，編號(hào)齊全。 [11]鄧澤清 黃光谷 陳曉 坤：線性代數(shù)習(xí)題與考研題解析，中山大學(xué)出版社 ， 2020 年 。 [3]上海市教育委員會(huì)：線性代數(shù)及其應(yīng)用，上海交通大學(xué)出版， 2020 年 。 由于采用的初等變換方法不同，所以得到的 ? 和 P 可能不同。 定義 2： 若二次型 f = TxAx 經(jīng)可逆變換 x=Cy 變成只含平方項(xiàng)，即 f = 2 2 21 1 2 2 nnk y k y k y? ? ? 這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱為 f 的標(biāo)準(zhǔn)型。 求 A1B 的方法：將分塊矩陣 ? ?AB進(jìn)行行初等變換，當(dāng)前一塊變成單位矩陣時(shí)， 后一塊即為 A1B。 定義 1：設(shè) ? ?12, n? ? ? 和 { 12,n? ? ? }是 n 維向量空間 V的兩個(gè)基。 解：設(shè) A= 1 2 3 4 5( , , , , )? ? ? ? ?=1 1 0 1 21 2 1 3 60 1 1 2 40 1 1 1 1? ? ??????? ? ???。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量組向量的個(gè)數(shù)，那么，向量組線性無關(guān)。 定義 1： 設(shè) 1 2 r? ? ?， ， 是向量空間 V的 r 個(gè)向量。 例 2 求四元齊次線性方程組 1 2 31 2 3 42 3 020x x xx x x x? ? ??? ? ? ? ??的一般解和一個(gè)基礎(chǔ)解系。 在判定含有參量的線性方程組有沒有解及有多少解的問題時(shí)，需要注意的是：由于所含的參數(shù)是不確定的數(shù)值，所以在對(duì)增廣矩陣施行行初等變換的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)考慮作變換時(shí)所用的“數(shù)”（如果它是含參量的一個(gè)代數(shù)式）是否可能為零（對(duì)某參量的取值），是否有意義，即（無論參量的取值如何）分母是否為零等，以決定所作的變換是否可施行。 判斷線性方程組解的狀況就是先求出線性方程組的系數(shù)矩陣的秩 r（ A）與增廣矩陣的秩 r（ B），然后比較 r（ A）與 r（ B）。 解： AE??????????=2 4 11 5 21 1 11 0 00 1 00 0 1??????????????????1 4 22 5 11 1 10 0 10 1 01 0 0????????????????????????1 0 02 3 31 3 10 0 10 1 01 4 2????????????????????????1 0 02 3 01 3 20010 1 11 4 2????????????????????? 1 0 02 1 01 1 11002110324113?????????????????????????????????1 0 02 1 00 0 11 1 12 2 21 1 12 6 21013???????????????????????????????????????1 0 00 1 00 0 11 1 12 2 21 1 16 6 221133????????????????????????????， 從而得到： A1=1 1 12 2 21 1 16 6 221 133??????????????。 例 1 判定矩陣 A=?????????????145243121 是否可逆。 例 2 求矩陣 A=1 2 3 13 2 1 12 0 2 15 2 7 3?????????的