【正文】 y?????? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????化二次型 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 2 2 6f x x x x x x x x x? ? ?為2 2 21 2 31262f y y y? ? ?。 由于采用的初等變換方法不同，所以得到的 ? 和 P 可能不同。 矩陣的初等變換 是矩陣十分重要的運算，應(yīng)用的方面十分廣泛 ， 大家 要 能夠 熟練的掌握矩陣的初等變換。 [3]上海市教育委員會：線性代數(shù)及其應(yīng)用，上海交通大學(xué)出版， 2020 年 。 [7]天津大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)教研組：線性代數(shù)及其應(yīng)用，科學(xué)出版社 ， 2020 年 。 [11]鄧澤清 黃光谷 陳曉 坤：線性代數(shù)習(xí)題與考研題解析，中山大學(xué)出版社 ， 2020 年 。 elementary matrix 論文評閱人意見 論文 （設(shè)計） 題目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 作 者 荊山玉 評閱人 王志剛 評閱人職稱 副教授 意 見 該論文對矩陣初等變換進行了詳細(xì)的解釋，并對其在高等代數(shù)和線性代數(shù)中的應(yīng)用進行了系統(tǒng)的總結(jié)。 該論文文字條理清晰、書寫工整，說明論述充分，理論證明全實，文字通順，符合技術(shù)用語要求，符號統(tǒng)一，編號齊全。 文獻材料收集詳實，綜合運用了所學(xué)知識解決問題，所 用方法 合理，結(jié)論正確，有創(chuàng)新見解。在很多方面都要用到初等變換，覺得掌握好初等變換對代數(shù)的學(xué)習(xí)特別有幫助。 答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ） 記錄員 答辯小組組長簽字 年 月 日 年 月 日 本科畢業(yè)論文 （設(shè)計） 答辯登記表 院（系）： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級： 2020 級 論文 （設(shè)計） 題目： 矩陣初等變換及其應(yīng)用 答辯人： 焦 陽 學(xué)號： 2020310849 評閱人： 王志剛 李 萍 指導(dǎo)教師： 林立軍 論文（設(shè)計）等級： 答辯小組成員： 朱永生、王志剛、李萍、周慧波 答辯小組意見： 該生在答辯過程中口齒清晰、思維敏捷、表達流暢。 秘書簽名 ： 年 月 日 論文（設(shè)計）答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ） 論文（設(shè)計）最終等級： 答辯小組組長簽名： 答辯委員會主席簽名： 。 對文章所述內(nèi)容理解透徹、對文章脈絡(luò)掌握清晰。 你寫這篇論文時參考了哪些書籍和有關(guān)資料？ 答：除了大學(xué)學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)的教材還包括西北大學(xué)高等代數(shù)編寫組編寫的《高等代數(shù)》、盧剛編寫的《線性代數(shù)》等關(guān)于高等代數(shù)和線性代數(shù)及其應(yīng)用方面的書籍，以及線性代數(shù)的習(xí)題解析等書籍。 文題完全相符，論點突出，論述緊扣主題 。 評閱人 簽字 評閱意見 指導(dǎo)教師評語頁 論文 （設(shè)計） 題目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 作 者 荊山玉 指導(dǎo)教師 林立軍 職 稱 副教授 評 語 該同學(xué)能在老師的嚴(yán)格要求下順利完成整個畢業(yè)論文的撰寫 ，態(tài)度端正，能按時完成任務(wù)。并通過例子將矩陣初等變換在求矩陣的秩、判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣、判斷線性方程組解的狀況、求解線性方程組的一般解及基礎(chǔ)解系、證向量的線性相關(guān)性及求向量的極大無關(guān)組、求向量空 間兩個基的過渡矩陣、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形這七個方面的應(yīng)用做出示范。 APPLICATIONS OF ELEMENTARY TRANSFORMATION OF MATRIX JINA Yang Abstract: Elementary transformation is very important in studying advanced algebra and linear algebra, and it is widely used to solve the problem. This article enumerates several examples of elementary transformation of matrix, including solving the rank of the matrix、 determining whether a matrix is reversible and solving inverse matrix、 determining the structure of solutions of the group of linear equations、 solving the basic set of solutions or the general solutions to the group of linear equations、 proving the linear relevance of the vector and solving maximal linearly independent、 solving the Transition matrix of two basis in vector space、 changing quadratic form to stand form, and it explains how the elementary transformation of matrix is used in these applications by some concrete examples. Key words: matrix。 [9]郝志峰：線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與典型例題，高等教育出版社 ， 2020 年 。 [5]盧剛：線性代數(shù)，高等教育出版社 ， 2020 年 。 參考文獻 ： [1]張禾瑞 郝鈵新：高等代數(shù)，高等教育出版社， 1999 年。 在工程數(shù)學(xué)教材中 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 一般是采用正交換法或配方法 ，求解過程較繁 ， 特別是施密特正交化過程公式 ，較易忘記 。 解 ： AE??????????=2 2 02 1 20 1 21 0 00 1 00 0 1???????????????????2 2 00 1 20 2 01 0 00 1 00 0 1???????????????????2 0 00 1 20 2 01 1 00 1 00 0 1??????????????????2 0 00 1 20 0 41 1 00 1 00 0 1?????????????????2 0 00 1 00 0 41 1 20 1 20 0 1?????????????=P???????????， 所求 P= 1 1 20 1 20 0 1????????。此法的優(yōu)點是：經(jīng)初等變換后可同時求出對角陣 ? 及所用的非退化線性變換矩陣 P，從而直接寫出所用的非退化的線性變換。 若矩陣 T 是基 ? ?12, n? ? ? 到基 { 12,n? ? ? }的過渡矩陣，那么由基 { 12,n? ? ? }到基 ? ?12, n? ? ? 得過渡矩陣就是 1A? 。求由 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 到 1 2 3 4, , ,? ? ? ? 的過渡矩陣。 于是 ( 12,n? ? ? )=? ?12, , , n? ? ? A1B。 我們 設(shè) 1 1 1 1 2 1 2 1 ,nna a a? ? ? ?? ? ? ? 2 12 1 22 2 2 ,nna a a? ? ? ?? ? ? ? 1 1 2 2 .n n n nn na a a? ? ? ?? ? ? ? 這里 ( 12, , ,j j nja a a )就是 j? 關(guān)于基 ? ?12, n? ? ? 的坐標(biāo)。 求向量空間兩個基的過渡矩陣 過渡矩陣是線性空間理論中非常重要的概念之一。該行階梯矩陣每個非零行第一個非零元所在的列為第 1， 2， 4 列，所 以， 向量組的一個 極 大線性無關(guān)組為 1 2 4,? ? ? ，且 3 1 2? ? ???， 5 1 2 42? ? ? ?? ? ?。 利用矩陣的初等變換將向量組堪稱某個矩陣 A的列（行）向量組，然后用初等行（列）變換將 A 化為階梯形矩陣 B，則向量組的秩等于階梯形矩陣 B 的非零行（列）的行（列）數(shù)，在 B 中找出一個階數(shù)最高的非零子式 rD ，那么與 rD 中這 r 列（行）相對應(yīng)的 r 個向量12, ri i i? ? ?就是原向量組的一個極大無關(guān)組。 解： （ b1,b2,b3） = 1 1 13 2 11 2 3?????????? 32r r? 1 1 10 1 20 1 2??