【正文】 難點(diǎn) 8 奇偶性與單調(diào)性 (二 ) 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出 .本節(jié)主要幫助考生學(xué)會(huì)怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識(shí) . ●難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★★ )已知偶函數(shù) f(x)在 (0， +∞ )上為增函數(shù)，且 f(2)=0,解不等式 f［ log2(x2+5x+4)］≥ 0. ●案例探究 ［例 1］已知奇函數(shù) f(x)是定義在 (－ 3， 3)上的減函數(shù)，且滿足不等式 f(x－3)+f(x2－ 3)0,設(shè)不等式解集為 A， B=A∪ {x|1≤ x≤ 5 },求函數(shù) g(x)=－ 3x2+3x－ 4(x∈ B)的最大值 . 命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力，屬★★★★級(jí)題目 . 知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題 . 錯(cuò)解分析：題目不等式中的“ f”號(hào)如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域 . 技巧與方法：借助奇偶性脫去“ f”號(hào)，轉(zhuǎn)化為 xcos 不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值 . 解：由??? ??? ????? ???? ???? 66 60333 3332 xxxx 得且 x≠ 0,故 0x 6 , 又∵ f(x)是奇函數(shù)，∴ f(x－ 3)－ f(x2－ 3)=f(3－ x2),又 f(x)在 (－ 3， 3)上是減函數(shù)， ∴ x－ 33－ x2,即 x2+x－ 60,解得 x2 或 x－ 3,綜上得 2x 6 ,即A={x|2x 6 }, ∴ B=A∪ {x|1≤ x≤ 5 }={x|1≤ x 6 },又 g(x)=－ 3x2+3x－ 4=－ 3(x－21)2－413知： g(x)在 B 上為減函數(shù)，∴ g(x)max=g(1)=－ 4. ［例 2］已知奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，且 f(x)在［ 0， +∞ )上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù) m,使 f(cos2θ － 3)+f(4m－ 2mcosθ )f(0)對(duì)所有 θ ∈［ 0,2?］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù) m 的范圍，若不存在，說明理由 . 命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力，屬★★★★★題目 . 知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 . 錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法 . 技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來(lái)解決問題 . 解：∵ f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且在［ 0， +∞ )上是增函數(shù)，∴ f(x)是 R 上的增函數(shù) .于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為 f(cos2θ － 3)f(2mcosθ － 4m), 即 cos2θ － 32mcosθ － 4m,即 cos2θ － mcosθ +2m－ 20. 設(shè) t=cosθ ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t) =t2－ mt+2m－ 2=(t－2m)2－42m+2m－ 2 在［ 0， 1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)在［ 0， 1］上的最小值為正 . ∴當(dāng)2m0,即 m0 時(shí)， g(0)=2m－ 20? m1 與 m0 不符； 當(dāng) 0≤2m≤ 1 時(shí)，即 0≤ m≤ 2 時(shí)， g(m)=－42m+2m－ 20 ? 4－ 2 2 m4+2 2 , 4－ 2 2 m≤ 2. 當(dāng)2m1,即 m2 時(shí)， g(1)=m－ 10? m1.∴ m2 綜上，符合題目要求的 m 的值存在，其取值范圍是 m4－ 2 2 . ●錦囊妙計(jì) 本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有： (1)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目 .此類題目要求考生必須具有駕馭知識(shí)的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力 . (2)應(yīng)用問題 .在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡(jiǎn)單的式子去解決 .特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題 . ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★ )設(shè) f(x)是 (－∞ ,+∞ )上的奇函數(shù)， f(x+2)=－ f(x),當(dāng) 0≤ x≤ 1 時(shí)，f(x)=x,則 f()等于 ( ) B.－ D.－ 2.(★★★★ )已知定義域?yàn)?(－ 1， 1)的奇函數(shù) y=f(x)又是減函數(shù)，且 f(a－ 3)+f(9－ a2)0, a 的取值范圍是 ( ) A.(2 2 ， 3) B.(3， 10 ) C.(2 2 ， 4) D.(－ 2， 3) 二、填空題 3.(★★★★ )若 f(x)為奇函數(shù)，且在 (0， +∞ )內(nèi)是增函數(shù)，又 f(－ 3)=0,則 xf(x)0的解集為 _________. 4.(★★★★ )如果函數(shù) f(x)在 R 上為奇函數(shù)，在 (－ 1， 0)上是增函數(shù)，且 f(x+2)=－ f(x),試比較 f(31),f(32),f(1)的大小關(guān)系 _________. 三、解答題 5.(★★★★★ )已知 f(x)是偶函數(shù)而且在 (0， +∞ )上是減函 數(shù)，判斷 f(x)在 (－∞ ,0)上的增減性并加以證明 . 6.(★★★★ )已知 f(x)=xxa 21 12? ?? (a∈ R)是 R 上的奇函數(shù)， (1)求 a 的值； (2)求 f(x)的反函數(shù) f－ 1(x)。 (3)對(duì)任意給定的 k∈ R+,解不等式 f－ 1(x)lgkx?1. 7.(★★★★ )定義在 (－∞ ,4］上的減函數(shù) f(x)滿足 f(m－ sinx)≤ f( m21? －47+cos2x)對(duì) 任意 x∈ R 都成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 8.(★★★★★ )已知函數(shù) y=f(x)=cbxax??12 (a,b,c∈ R,a0,b0)是奇函數(shù)，當(dāng) x0時(shí)， f(x)有最小值 2，其中 b∈ N 且 f(1)25. (1)試求函數(shù) f(x)的解析式； (2)問函數(shù) f(x)圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn) (1， 0)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由 . 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) 解：∵ f(2)=0,∴原不等式可化為 f［ log2(x2+5x+4)］≥ f(2). 又∵ f(x)為偶函數(shù)，且 f(x)在 (0， +∞ )上為增函數(shù)， ∴ f(x)在 (－∞ ,0）上為減函數(shù)且 f(－ 2)=f(2)=0 ∴不等式可化為 log2(x2+5x+4)≥ 2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤－ 2 ② 由①得 x2+5x+4≥ 4 ∴ x≤－ 5 或 x≥ 0 ③ 由②得 0＜ x2+5x+4≤41得2 105??≤ x＜－ 4 或－ 1＜ x≤2 105?? ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－ 5 或2 105??≤ x≤－ 4 或－ 1＜ x≤2 105??或 x≥ 0} 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 ： f()=f(+2)=－ f()=－ f(+2)=f()=f(+2)=－ f()=－f(－ +2)= f(－ )=－ f()=－ . 答案： B ：∵ f(x)是定義在 (－ 1， 1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且 f(a－ 3)+f(9－a2)＜ 0. ∴ f(a－ 3)＜ f(a2－ 9). ∴????????????????9319113122aaaa ∴ a∈ (22 ,3). 答案： A 二、 ：由題意可知： xf(x)＜ 0??? ????? ??? 0)( 00)( 0 xfxxfx 或 ??? ????? ??????? ????? ???? 3030 )3()( 0 )3()( 0 xxxxfxfxfxfx 或或 ∴ x∈ (－ 3,0)∪ (0,3) 答案： (－ 3， 0）∪ (0， 3） ：∵ f(x)為 R 上的奇函數(shù) ∴ f(31)=－ f(－31),f(32)=－ f(－32),f(1)=－ f(－ 1),又 f(x)在 (－ 1， 0)上是增函數(shù)且－31 －32－ 1. ∴ f(－31)f(－32)f(－ 1),∴ f(31)＜ f(32)＜ f(1). 答案： f(31)＜ f(32)＜ f(1) 三、 ：函數(shù) f(x)在 (－∞ ,0）上是增函數(shù)，設(shè) x1＜ x2＜ 0,因?yàn)?f(x)是偶函數(shù)，所以 f(－ x1)=f(x1),f(－ x2)=f(x2),由假設(shè)可知－ x1－ x20,又已知 f(x) (0， +∞ )上是減函數(shù)，于是有 f(－ x1)＜ f(－ x2),即 f(x1)＜ f(x2),由此可知，函數(shù) f(x)在 (－∞ ,0)上是增函數(shù) . ： (1） a=1. (2)f(x)=12 12??xx (x∈ R)? f－ 1(x)=log2xx??11 (－ 1＜ x＜ 1) . (3)由 log2xx??11log2kx?1 ?log2(1－ x)＜ log2k,∴當(dāng) 0＜ k＜ 2 時(shí)，不等式解集為{x|1－ k＜ x＜ 1} 。當(dāng) k≥ 2 時(shí)，不等式解集為 {x|－ 1＜ x＜ 1} . ： ??????????????????????????????????1s ins in4721s in4 c o s4721s in4c o s47214s in222xxmmxmxmxmxmxm即，對(duì)x∈ R 恒成立 , ?????????21233mmm或 ∴ m∈［23,3］∪ {21}. ： (1)∵ f(x)是奇函數(shù)，∴ f(－ x)=－ f(x),即 cbxcbxcbxaxcbxax ?????? ????? 11 22 ∴ c=0,∵ a0,b0,x0,∴ f(x)=bxxbabxax 112 ???≥ 22ba，當(dāng)且僅當(dāng) x=a1時(shí)等號(hào)成立，于是 22ba=2,∴ a=b2,由 f(1)＜25得ba1?＜25即bb 12?＜25,∴ 2b2－ 5b+2＜ 0,解得21＜ b＜ 2，又 b∈ N,∴ b=1,∴ a=1,∴ f(x)=x+x1. (2)設(shè)存在一點(diǎn) (x0,y0)在 y=f(x)的圖象上，并且關(guān)于 (1， 0）的對(duì)稱點(diǎn) (2－ x0,－y0)也在 y=f(x)圖象上，則?????????? ????0020002021)2(1yxxyxx 消去 y0 得 x02－ 2x0－ 1=0,x0=1177。 2 . ∴ y=f(x)圖象上存在兩點(diǎn) (1+ 2 ,2 2 ),(1－ 2 ,－ 2 2 )關(guān)于 (1， 0)對(duì)稱 . 難點(diǎn) 9 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問題 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會(huì)用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 . ●難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★★ )設(shè) f(x)=log2xx??11,F(x)=x?21+f(x). (1)試判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明； (2)若 f(x)的反函數(shù)為 f－ 1(x),證明：對(duì)任意的自然數(shù) n(n≥ 3),都有 f－ 1(n)1?nn。 (3)若 F(x)的反函數(shù) F－ 1(x),證明：方程 F－ 1(x)=0 有惟一解 . ●案例探究 ［例 1］已知過原點(diǎn) O 的一條直線與函數(shù) y=log8x 的圖象交于 A、 B 兩點(diǎn)，分別過點(diǎn) A、 B 作 y 軸的平行線與函數(shù) y=log2x 的圖象交于 C、 D 兩點(diǎn) . (1)證明：點(diǎn) C、 D 和原點(diǎn) O 在同一條直線上； (2)當(dāng) BC 平行于 x 軸時(shí)，求點(diǎn) A 的坐標(biāo) . 命題意圖：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力 .屬★★★★級(jí)題目 . 知識(shí)依托： (1)證明三點(diǎn)共線的方法： kOC=kOD. (2)第 (2)問的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程 (1)，即可求得 A 點(diǎn)坐標(biāo) . 錯(cuò)解分析：不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問題 . 技巧與方法：本題第一問運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn) A 的坐標(biāo) . (1)證明：設(shè)點(diǎn) A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 x x2,由題意知： x11,x21,則 A、 B 縱坐標(biāo)分別為 log8x1, A、 B 在過點(diǎn) O 的直線上，所以228118 loglog x xx x ? ,點(diǎn)C 、 D 坐 標(biāo) 分 別 為 (x1,log2x1),(x2,log2x2), 由于