第三篇第3講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(已修改)
2024-12-25 05:36 本頁(yè)面
【正文】 第 3講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 A 級(jí) 基礎(chǔ) 演練 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分 ， 共 20 分 ) 1． 已知對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 都有 f(－ x)＝－ f(x)， g(－ x)＝ g(x)， 且 x＞ 0 時(shí) ， f′ (x)＞ 0，g′ (x)＞ 0， 則 x＜ 0 時(shí) ( )． A． f′ (x)＞ 0， g′ (x)＞ 0 B． f′ (x)＞ 0， g′ (x)＜ 0 C． f′ (x)＜ 0， g′ (x)＞ 0 D． f′ (x)＜ 0， g′ (x)＜ 0 解析 由題意知 f(x)是奇函數(shù) ， g(x)是偶函數(shù)．當(dāng) x＞ 0 時(shí) ， f(x)， g(x)都單調(diào)遞增 ， 則當(dāng) x＜ 0 時(shí) ， f(x)單調(diào)遞增 ， g(x)單調(diào)遞減 ， 即 f′(x)＞ 0， g′ (x)＜ 0. 答案 B 2． 從邊長(zhǎng)為 10 cm 16 cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小 正方形，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為 ( )． A． 12 cm3 B． 72 cm3 C． 144 cm3 D． 160 cm3 解析 設(shè)盒子容積為 y cm3， 盒子的高為 x cm， 則 x∈ (0， 5)． 則 y＝ (10－ 2x)(16－ 2x)x＝ 4x3－ 52x2＋ 160 x， ∴ y′ ＝ 12x2－ 104x＋ y′＝ 0， 得 x＝ 2 或 203 (舍去 )， ∴ ymax＝ 6 12 2＝ 144 (cm3)． 答案 C 3． 若關(guān)于 x 的不等式 x3－ 3x2－ 9x＋ 2≥ m 對(duì)任意 x∈ [－ 2， 2]恒成立 ， 則 m 的取值范圍是 ( )． A． (－ ∞ ， 7] B． (－ ∞ ， － 20] C． (－ ∞ ， 0] D． [－ 12， 7] 解析 令 f(x)＝ x3－ 3x2－ 9x＋ 2， 則 f′(x)＝ 3x2－ 6x－ 9， 令 f′(x)＝ 0， 得 x＝－ 1或 x＝ 3(舍去 )． ∵ f(－ 1)＝ 7， f(－ 2)＝ 0， f(2)＝－ 20.∴ f(x)的最小值為 f(2)＝－20， 故 m≤ － 20， 可知應(yīng)選 B. 答案 B 4． (2021新余模擬 )函數(shù) f(x)的定義域是 R， f(0)＝ 2， 對(duì)任意 x∈ R， f(x)＋ f′(x)1，則不等式 ex f(x)ex＋ 1 的解集為 ( )． A． {x|x0} B． {x|x0} C． {x|x－ 1 或 x1} D． {x|x－ 1 或 0x1} 解析 構(gòu)造函數(shù) g(x)＝ ex f(x)－ ex， 因?yàn)?g′(x)＝ ex f(x)＋ ex f′ (x)－ ex＝ ex[f(x)＋ f′(x)]－ exex－ ex＝ 0， 所以 g(x)＝ ex f(x)－ ex為 R 上的增函數(shù)．又因?yàn)?g(0)＝ e0 f(0)－ e0＝ 1， 所以原不等式轉(zhuǎn)化為 g(x)g(0)， 解得 x0. 答案 A 二、填空題 (每小題 5 分 ， 共 10 分 ) 5． 直線 y＝ a 與函數(shù) f(x)＝ x3－ 3x 的圖像有相異的三個(gè)公共點(diǎn) ， 則 a 的取值范圍是 ________． 解析 令 f′(x)＝ 3x2－ 3＝ 0， 得 x＝ 177。 1， 可得極大值為f(－ 1)＝ 2， 極小值為 f(1)＝－ 2， 如圖 ， 觀察得－ 2＜ a＜ 2 時(shí)恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)． 答案 (－ 2， 2) 6． (2021泰州調(diào)研 )若函數(shù) f(x)＝ x＋ asin x
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