20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一131第2課時函數(shù)的最值學(xué)案(已修改)
2024-12-23 21:19 本頁面
【正文】 第 2 課時 函數(shù)的最值 [學(xué)習(xí)目標(biāo) ] (小 )值及其幾何意義 .． [知識鏈接 ] 以下說法中： ① 函數(shù) y＝ 2x 在 R 上為增函數(shù)； ② 函數(shù) y＝ 1x的單調(diào)遞增區(qū)間為 (－ ∞ ， 0)∪(0 ，＋ ∞) ； ③ 函數(shù) y＝ x2＋ 2x－ 3的單調(diào)遞增區(qū)間為 (1，＋ ∞) ． 正確的有 ________． 答案 ① [預(yù)習(xí)導(dǎo)引 ] 1．最大值 (1)定義：一般地，設(shè)函數(shù) y＝ f(x)的定義域為 I，如果存在實數(shù) M滿足： ① 對于任意的 x∈ I，都有 f(x)≤ M； ② 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M. 那么，我們稱 M 是函數(shù) y＝ f(x)的最大值． (2)幾何意義：函數(shù) y＝ f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標(biāo)． 2．最小值 (1)定義：一般地，設(shè)函數(shù) y＝ f(x)的定義域為 I，如果存在實數(shù) M滿足： ① 對于任意的 x∈ I，都有 f(x)≥ M； ② 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M. 那么，我們稱 M 是函數(shù) y＝ f(x)的最小值． (2)幾何意義：函數(shù) y＝ f(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標(biāo)． 要點一 利用圖象求函數(shù)的最值 例 1 已知函數(shù) f(x)＝????? x2，－ 1≤ x≤1 ，1x， x1.求 f(x)的最大值、最小值． 解 作出函數(shù) f(x)的圖象 (如圖 )．由圖象可知，當(dāng) x＝ 177。1 時， f(x)取最大值為 f(177。1) ＝ x＝ 0 時， f(x)取最小值 f(0)＝ 0， 故 f(x)的最大值為 1，最小值為 0. 規(guī)律方法 ，最小值為各段上最小值的最小者，故求分段函數(shù)的最大值或最小值，應(yīng)先求各段上的最值，再比較即得函數(shù)的最大值、最小值． 2．如果函數(shù)的圖象容易作出，畫出分段函數(shù)的圖象，觀察圖象的最高點與最低點，并 求其縱坐標(biāo)即得函數(shù)的最大值、最小值． 跟蹤演練 1 已知函數(shù) f(x)＝ 3x2－ 12x＋ 5，當(dāng)自變量 x 在下列范圍內(nèi)取值時，求函數(shù)的最大值和最小值： (1)x∈ R； (2)[0,3]； (3)[－ 1,1]． 解 f(x)＝ 3x2－ 12x＋ 5＝ 3(x－ 2)2－ 7. (1)當(dāng) x∈ R 時， f(x)＝ 3(x－ 2)2－ 7≥ － 7， 當(dāng) x＝ 2 時，等號成立． 即函數(shù) f(x)的最小值為－ 7，無最大值． (2)函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù) f(x)在 [0,2)上遞減，在 [2,3]上遞增，并且 f(0)＝ 5， f(2)＝－ 7， f(3)＝－ 4，所以在 [0,3]上，函數(shù) f(x)在 x＝ 0 時取得最大值，最大值為 5，在 x＝ 2 時，取得最小值，最小值為－ 7. (3)由圖象可知， f(x)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞減， f(x)max＝ f(－ 1)＝ 20， f(x)min＝ f(1)＝－ 4. 要點二 利用單調(diào)性求函數(shù)的最值 例 2 求函數(shù) f(x)＝ xx－ 1在區(qū)間 [2,5]上的最大值與最小值． 解 任取 2≤ x1x2≤5 ， 則 f(x1)＝ x1x1－ 1， f(x2)＝ x2x2－ 1， f(x2)－ f(x1)＝ x2x2－ 1－ x1x1－ 1＝ x1－ x2x2－ x1－， ∵2≤ x1x2≤5 ， ∴ x1－ x20， x2－ 10， x1－ 1
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