【正文】 20xx 年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計） 用 EXP函數(shù)法求（ 2+1）維 CD 方程 的精確解 院 － 系 : 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè) : 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級 : 20xx 級 學(xué)生姓名 : 蔣衛(wèi)良 學(xué) 號 : 20xx05050248 導(dǎo)師及職稱 : 丁玉敏（教授） 20xx 年 6 月 20xx Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate EXPfunction Method for Solving Exact Solution of CD Equation Department: College of Mathematics Major: Mathematics and Applied Mathematics Grade: 20xx Student’s Name: Jiang wei liang Student No.:20xx05050248 Tutor: Ding yu min（ Professor） June, 20xx 畢業(yè)論文（設(shè)計）原創(chuàng)性聲明 本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計） 是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果 .據(jù)我所知 ,除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容 外 ,本論文（設(shè)計）不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 .對本論文（設(shè)計）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個人和集體 ,均已在文中作了明確說明并表示謝意 . 作者簽名 : 日期 : 畢業(yè)論文（設(shè)計）授權(quán)使用說明 本論文（設(shè)計）作者完全了解紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計）的規(guī)定 ,學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計）的電子版和紙質(zhì)版 .有權(quán)將論文（設(shè)計）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱 .學(xué)校可以公布論文（設(shè)計）的全部或部分內(nèi)容 .保密的論文（設(shè)計）在解密后適用本規(guī)定 . 作者簽名 : 指導(dǎo)教師簽名 : 日期 : 日期 : 蔣衛(wèi)良 畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯委員會 (答辯小組 )成員名單 姓名 職稱 單位 備注 龍瑤 教授 數(shù)學(xué) 學(xué)院 主席（組長） 丁玉敏 教授 數(shù)學(xué) 學(xué)院 諶孫康 講師 數(shù)學(xué) 學(xué)院 何應(yīng)輝 講師 數(shù)學(xué) 學(xué)院 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 摘要 利用 指數(shù) 函數(shù)展開法 并借助 Maple 軟件， 簡捷地獲得了 (2+1)維 CD方程的許多的新的 行波解 ，包括各種類型的 孤立波解和三角函數(shù)周期解 ,并用 Maple 畫出幾種典型的波形圖 . 關(guān)鍵詞 : (2+1)維 CD 方程 ； 指數(shù) 函數(shù)法 ； 行波解 ； 孤立波解 ； 三角函數(shù)周期解 . 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） ABSTRACT In this paper, with the aids of the mathematic softwareMaple ,we briefly obtained many new travalling wave solutions of the (2+1)dimentional CD equation by utilizing expfunction expansion method. All of these solutions include all kinds of solitontravelling solutions and Periodic Solutions of trigonometric functions. As a result,we acquied many typical waveform pictures with the softwareMaple. Keywords: (2+1)dimentional CD equation。 expfunction expansion method。 travalling wave solutions。 solitontravelling solutions。 Periodic Solutions of trigonometric functions 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 目錄 第一章 引言 ............................................................... 3 第二章（ 2+1）維 CD 方程的精確解 ............................................ 2 指數(shù)函數(shù)法的基本思想 ............................................... 2 （ 2+1）維 CD 方程的求解及對解的變換分析 ............................ 2 （ 2+1）維 CD 方程的一般解 ...................................... 2 （ 2+1）維 CD 方程的精確解 ...................................... 4 第三章 結(jié)論 .............................................................. 25 參考文獻(xiàn) ................................................................. 26 致謝 ..................................................................... 27 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 1 第一章 引言 以物理及其他學(xué)科為背景的微分方程的研究是當(dāng)代數(shù) 學(xué)的一個重要組成部 分 .目前，微分方程研究的主體是非線性偏微分方程， 很多自然科學(xué)和工程技術(shù)問題，最終都?xì)w結(jié)為非線性偏微分方程的研究 .近幾十年來，對某些非線性偏微分方程的精確求解獲得了許多有效的方法， 如齊次平衡法 [1]、雙曲正切函數(shù)展開法 [2]、試探函數(shù)法 [3]、非線性變換法 [4]、 sineCosine 法 [5]、 Jacobi橢圓函數(shù)展開法 [6]、混合指數(shù)法 [7]等 .然而非線性方程 (尤其是非線性偏 微分方程 )的求解非常困難 ,而且求解非線性方程沒有也不可能有統(tǒng)一而普遍適用 的方法 ,以上一些方法也只能具體應(yīng)用于某些非線性方程的求解 , 因此繼續(xù)尋找一些有效可行的方法仍是一項(xiàng)十分重要的工作 . 方程介紹 : 由 Calogero 和 Degasperis 首先提出的 CD 方程（破裂孤立子方程） 024 ???? x x x yxxyxyxxt uuuuuu （ 11） 是一個重要的非線性偏微分方程，它描述了（ 2+1）維非線性波方程的長波沿著 x 軸傳播，黎曼波沿 y 軸傳播的相互作用 .在文獻(xiàn) [8]中 張解放等 用 齊次平衡法和推廣的 Hirota雙曲線方法獲得了破裂孤立子方程一些孤子解， 在文獻(xiàn) [9]中 鄭斌用直接約化法得到了方程 (11)的 Backlund 變換公式，從而 獲得了 該 方程一些孤子解， 在文獻(xiàn) [10]中 高正暉 用行波變換和截斷展開法 ， 獲得了 方程 (11)的 許多的新 行波解。 本文利將用指數(shù)函數(shù)方法[1114]求 (2+1)維 CD 方程 新的精確 解 . 第二章（ 2+1）維 CD 方程的精確解 2 第二章 （ 2+1）維 CD 方程的精確解 指數(shù)函數(shù)法的基本思想 對于給定的一個非線性偏微分方程 (PDE) .0, . . . ),,( ?xxxtttxt uuuuuup （ 21） 為求方程 )12( ? 的精確解 ,作變換 ,),(),( gtkxutxu ??? ?? （ 22） 其中 gk, 為待定常數(shù) . 將 )22( ? 代入方程 )12( ? ,可將 )12( ? 式行波約化為 )(?u 的常微分方程 (ODE) .0, . . . ),( ??????? uuuup （ 23） 設(shè) )(?u 可表示為 )exp(? 的有限冪級數(shù) ,即 )(?u ??? ?? ??q pn md n mb na )ex p ( )ex p ( ?? )e xp()e xp( )e xp()e xp( ?? ?? paqa cadapqcd ??? ???????? （ 24） 其中 qpdc , 是待定正整數(shù) , mn ba , 是待定常數(shù) . c 和 p 的關(guān)系的確定 ,可以通過平衡方程 )32( ? 的非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)來進(jìn)行 .同理 ,平衡方程 )32( ? 的非線性項(xiàng) 和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最低次數(shù) ,可以得到 d 和 q 的關(guān)系 .再把 c 和 p 及 d 和 q 取一些特定的值 ,可將方程 )32( ? 的左邊化為)exp(?n 的多項(xiàng)式 .令 )exp( ?n 的系數(shù) 為零 ,得到相應(yīng)的代數(shù)方程組 ,求解這些代數(shù)方程 ,并將這些結(jié)果代入 )42( ? 式便得到方程 )12( ? 用 )exp( ?n 表示的行波解的一般形式 . （ 2+1）維 CD 方程的求解及對解的變換分析 （ 2+1） 維 CD 方程的一般解 為了求出（ 11）的行波解，作變換 )(),( ?utyxu ? , gtmykx ???? ， （ 25） 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 3 其中 ,kmg 為待定常數(shù) .將（ 25）代入（ 11）得 ： 2 3 ( 4 )60k g u k m u u k m u?? ? ??? ? ? （ 26） 在方程（ 26）兩邊對 ? 進(jìn)行積分并化簡得： 0)(3 22 ???????? umkukmug （ 27) 設(shè)（ 27）的解 )(?u 可表示為 )exp(? 的有限冪級數(shù)，即 e x p ( ) e x p ( ) e x p ( )() e x p ( ) e x p ( ) e x p ( )dn c n d cqm p m q pa n a d a cu b m a q a p? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ， （ 28） 其中 qpdc , 是待定正整數(shù)， na ma 是待定常數(shù) . 為了確定 c 和 p 的關(guān)系 ,平衡 方程（ 27）中的非線性 項(xiàng) 2)(u? 和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng) u? 的最高次數(shù)： 2)(u? = ? ?? ?? )8e x p ( ])26e x p [ (21 ? ?pc cpc （ 29） ? ?]8e x p [ ])7e x p [ (43 ? ?pc