高中數(shù)學北師大版選修1-1第三章導數(shù)在證明恒等式中的應用word拓展資料素材(已修改)
2024-12-05 23:16 本頁面
【正文】 拓展資料： 導數(shù)在證明恒等式中的應用 一、預備知識 定理 1 若函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上可導，且 x∈I ，有 f′(x) ＝ 0，則 x∈I ，有 f(x)＝c(常數(shù) )． 證明 在區(qū)間 I上取定一點 x0及 x∈I ．顯然，函數(shù) f(x)在 [x0， x]或 [x， x0]上滿足拉格朗日定理，有 f(x)－ f(x0)＝ f′(ξ)(x － x0)， ξ 在 x與 x0之間． 已知 f′(ξ) ＝ 0，從 f(x)－ f(x0)＝ 0 或 f(x)＝ f(x0) 設 f(x0)＝ c，即 x∈I ，有 f(x)＝ c． 定理 2 若 x∈I( 區(qū)間 )，有 f′(x) ＝ g′(x) ，則 x∈I ，有 f(x)＝ g(x)＋ c，其中 c是常數(shù)． 二、應用例題 證法 f(x)＝ arcsinx＋ arccosx，在 (－ 1， 1)上是常值函數(shù)． 證明 設 f(x)＝ arcsinx＋ arccosx， x∈( － 1， 1)，有 f′(x) ＝ (arcsinx＋ arccosx)′ 由定理 1知， f(x)＝ c，即 arcsinx＋ arccosx＝ c其中 c是常數(shù)． 證明 設 f(x)＝ arctanx＋ arccotx， c∈ R，有 由定理 1知， arctanx＋ arccotx＝ c，其中 c是常數(shù)． 例 3 證明： arccos(－ x)＋ arccosx＝ π ， x∈[ － 1， 1]． 證明 設 f(x)＝ arccos(－ x)＋ arccosx， x∈[ － 1， 1]， 于是 f′(x) ＝ (arccos(－ x)＋ ar
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