【正文】 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)講義 集合及其表示法 一、教學(xué)內(nèi)容分析 集合是一種數(shù)學(xué)語言，是對數(shù)學(xué)的進(jìn)一步抽象，它將貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，甚至在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將集合的概念和理論滲透到數(shù)學(xué)的各類分支中，會(huì)有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 本章是高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)章節(jié)，學(xué)習(xí)集合的有關(guān)概念和表示方法，以及集合之間的關(guān)系和基本運(yùn)算，初步掌握基本的集合語言，了解集合的基本思想方法和集合的發(fā)展歷史，能用集合的思想去觀察、思考、表述和解決一些簡單的實(shí)際問題。 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 知道集合的意義，理解集合的元素及其與集合的關(guān)系符號 ；認(rèn)識一些特殊集合的記號，會(huì)用“列舉法”和“描述法”表示集合；體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的意義 . 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念； 教學(xué)難點(diǎn)：用“列舉法”和“描述法”表示集合。 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、數(shù)學(xué)史引入 （ 1）“物以類聚，人以群分”（ 2）我校高一年級的全體學(xué)生；（ 3）這間教室里所有的課桌； （ 4）所有的正有理數(shù)； （ 5）?? 二、學(xué)習(xí)新課 1．概念辨析 （ 1）集合的有關(guān)概念： 集合的述性說明 ：把能夠確切指定的一些對象看作一個(gè)整體，這個(gè)整體就叫做集合，簡稱集。 我們既 要研究集合這個(gè)整體，也要研究這個(gè)整體中的個(gè)體。我們稱集合中的各個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素； 集合的分類 ：有限集、無限集； 集合中元素的特性： “確定性”；“互異性”；“無序性”； （ 2）集合的表示方法： 集合的符號表示：集合常用大寫英文字母 A 、 B、 C?表示，集合中的元素常用小寫英文字母 a 、 b 、 c ?表示 元素與集合的關(guān)系 ：屬于 ?與不屬于 ?（注意方向和辨析）； 列舉法 ：將集合中的元素一一列出來（不考慮元素的順序），且寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫 列舉法 描述法 ：在大括號內(nèi)先寫出這個(gè)集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上實(shí)例引入 概念辨析 鞏固練習(xí) 總結(jié)提煉 作業(yè)及反饋 拓展與思考 集合中元素所共同具有的特性，即： ? ?A x x p? 滿 足 的 性 質(zhì)，這種表示集合的方法叫做描述法 . （ 3）特殊集合的表示： 常用的集合的特殊表示法：實(shí)數(shù)集 R （正實(shí)數(shù)集 ?R ）、有理數(shù)集 Q （負(fù)有理數(shù)集 ?Q ）、整數(shù)集 Z （正整數(shù)集 ?Z ）、自然數(shù)集 N （包含零）、不包含零的自然數(shù)集 *N ； 空集 ? （例：方程 2 20x ??的實(shí)數(shù)解集為 ? ） . [說明 ] 描述法這一表示集合的形式學(xué)生較難理解，可以通過一些例題來加深對描述法這種表示方法的理解。 2．例題分析 例 判斷下列各組對象能否組成集合： （ 1）不等式 3 2 0x?? 的解； （ 2）我班中身高較高的同學(xué)； （ 3）直線 21yx??上所有的點(diǎn)； （ 4）不大于 10且不小于 1的奇數(shù)。 例 用符號 ?或 ?填空： （ 1） 2______N （ 2） 2 ______Q （ 3） 0____? （ 4） 0______??0 （ 5） b ______? ?,abc （ 6） 0______ *N 例 寫出下列集合中的元素（并用列舉法表示）： （ 1） 既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合 答： ??2 （ 2） 大于 10而小于 20的合數(shù)組成的機(jī)荷 答： ? ?12,14,15,16,18 例 用描述法表示下列集合： （ 1） 被 5除余 1的正整數(shù)所構(gòu)成的集合 答： ? ?| 5 1,x x k k? ? ? N （ 2） 平面直角坐標(biāo)系中第一、第三象限的點(diǎn)構(gòu)成的集合 答：? ?( , ) | 0 , ,x y x y x y? ? ?RR （ 3）函數(shù) 221y x x? ? ? 的圖像上所有的點(diǎn) 答：? ?? ?2, | 2 1 , ,x y y x x x y? ? ? ? ?RR （ 4） 1 2 3 4 5, , , ,3 4 5 6 7?????? 答：*, , 52nx x n nn? ? ?? N 例 用列舉法表示下列集合： （ 1） ? ?? ?, | 5 , ,x y x y x y? ? ? ?NN答： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 , 5 , 1 , 4 , 2 , 3 , 3 , 2 , 4 , 1 , 5 , 0 （ 2） ? ?2 2 3 0 ,x x x x? ? ? ? R 答： ? ?3, 1? （ 3） ? ?2 2 3 0 ,x x x x? ? ? ? R 答： ? （ 3） 12 ,5xxx?????????NZ 答： ? ?7, 1,1,3,4?? 例 用符號 ?或 ?填空： （ 1） ? ?2 3 _ _ _ _ 1 1xx ? （ 2） ? ?2*3 __ __ 1 ,x x n n? ? ? N （ 3） ? ? ? ?21,1 _ _ _ _ y y x?? （ 4） ? ? ? ?? ?21 , 1 _ _ _ _ ,x y y x?? [說明 ]例 4－例 6都涉及到了集合的描述法表示，這也是本節(jié)課的最大的難點(diǎn)，題目不宜過 多，可以從中選取一些；在例題中滲透有限集和無限集的概念 . 三、鞏固練習(xí) ： 課本 P7練習(xí) 四、課堂小結(jié) ： 集合的概念、表示方法 五、作業(yè)布置 （必做題）課本 P7習(xí)題 （選做題）已知集合 ? ?2 , ,A x x a b a b? ? ? ? Z，若 12,x x A? ，判斷： Axx ?? 21 是否成立． 六 、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 1．通過許多實(shí)際的例子來讓學(xué)生感知概念，然后在通過文字的歸納敘述讓學(xué)生形成概念，再通過具體的例子來讓學(xué)生理解文字描述的概念，由此層 層深化概念。 2．由于本節(jié)課文字信息量較大，因此用制作課件 ,以簡化板書工作 ,增加課堂教學(xué)的信息容量 ,保證學(xué)生的活動(dòng)空間和思維空間，努力提高單位教學(xué)效益。 集合之間的關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 理解集合之間的包含關(guān)系，掌握子集的概念 二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：子集的概念 教學(xué)難點(diǎn)：辨析元素與子集、屬于與包含的關(guān)系 三、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí)： （ 1）回答概念：集合、元素、有限集、無限集、列舉法、描述法。 （ 2）集合中元素的特性是什么？ 二、引入： 觀察和比較下列各組集合，說說 它們之間的關(guān)系（共性）： （ 1） ? ?1,2,3A? ， ? ?1, 2, 3, 4,5B ? ； （ 2） A?N ， B?Q ； （ 3） A 是中學(xué)高一年級全體女生組成的集合， B 是中學(xué)高一年級全體學(xué)生組成的集合． [說明 ] 給出幾個(gè)具體的集合，從元素角度觀察它 們之間的關(guān)系，引出子集、真子集、集合相等的概念。 三 、學(xué)習(xí)新課 1．概念辨析 定義 1：對于兩個(gè)集合 A 與 B ，如果集合 A 的 任何 ． ． 一個(gè)元素都屬于集合 B ，那么集合 A叫作集合 B 的子集，記作 :AB? 或 BA? （讀作： A 包含于 B 或 B 包含 A 注 1： （ 1） AB? 有兩種可能： ① A 中所有元素是 B 中的一 部分元素； ② A 與 B 是中的所有元素都相同； （ 2）空集 ? 是任何集合的子集；任何一個(gè)集合是它本身的子集； （ 3）判定 A 是 B 的子集，即判定“任意 x A x B? ? ? ” . 定義 2：對于兩個(gè)集合 A與 B，如果 AB? 且 BA? ，那么叫做集合 A 等于 集合 B ，記作 A =B （讀作集合 A 等于集合 B ）； 注 2： （ 1）如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同，那么這兩個(gè)集合相等 ；（ 2）判定 AB? ，即判定“任意 x A x B? ? ? ，且任意 x B x A? ? ? ” . 定義 3：對于兩個(gè)集合 A 與 B ，如果 AB? ，并且 B 中至少有一個(gè)元素不屬于 A ，那么集合 A 叫做 B 的真子集，記作： AB220。 或 BA221。 ，讀作 A 真包含于 B 或 B 真包含 A . 注 3：（ 1）空集是任 何非空集合的真子集， A?220。 ； 復(fù)習(xí)引入 概念辨析 鞏固練習(xí) 總結(jié)提煉 作業(yè)及反饋 拓展與思考 （ 2）判定 AB220。 ，即判定“任意 x A x B? ? ? ，且存在 00x B x A? ? ?”； （ 3）子集與真子集符號的方向； （ 4）易混符號：①“ ?”與“ ? ”② ??0 與 ? 2．例題分析 寫出數(shù)集 N 、 R 、 *N 、 Z 、 Q 的包含關(guān)系； 寫出集合 ? ?,x y z 的所有真子集； 已知集合 ? ?1, 3, 5, 7, 9M ? ，寫出符合 下列條件的 M 的子集： （ 1） 以集合 M 中的所有質(zhì)數(shù)為元素； （ 2） 以集合 M 中所有能被 3整除的數(shù)為元素； （ 3） 以集合 M 中所有能被 2整除的數(shù)為元素。 設(shè)集合 ? ?| 1,A x x x R? ? ?， ? ?| 5 ,B x x x R? ? ?； （ 1）判斷 2分別與 A 、 B 的關(guān)系 （ 2）確定 A 、 B 之間的關(guān)系 確定下列兩個(gè)集合關(guān)系： （ 1） { | 2 1, }A x x k k? ? ? ? Z， { | 2 1 , }B x x m m? ? ? ? Z （ 2） *{ | 2 1 , }A x x k k? ? ? ? N， *{ | 2 1 , }B x x m m? ? ? ? N （ 3） { | 4 1, }A x x k k? ? ? ? Z， { | 2 1, }B x x k k? ? ? ? Z 四 、鞏固練習(xí) ： 課本 P11練習(xí) 五 、課堂小結(jié) 理解集合之間的包含關(guān)系，掌握子集、集合相等、真子集概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握他們的各種符號表示及證明方法。對于兩個(gè)集合 A與 B，如果集合 A中任何一個(gè)元素都屬于集合 B，那么集合 A叫做集合 B的子集，記作 AB? ，規(guī)定空集是任何集合的子集。當(dāng)集合 A是集合 B的子集時(shí)，進(jìn)一步詳細(xì)討論，若集合 B中至少有一個(gè)元素不屬于 A，那么集合A是集合 B的真子集 ；若集合 B也是集合 A的子集，那么集合 A與集合 B相等。 兩個(gè)集合之間也不一定存在包含關(guān)系，如集合 A中任何一個(gè)元素都不屬于集合 B，集合 B中任何一個(gè)元素都不屬于集合 A，等等，這些在集合運(yùn)算中能得到體現(xiàn)。 六 、作業(yè)布置 （必做題）課本 P11習(xí)題 （選做題）設(shè)集合, , { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }A B A C B? ? ?且， {0, 2, 4, 6,8}C ? ，求集合 A 的個(gè)數(shù) . 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明 本節(jié)內(nèi)容是集合這個(gè)章節(jié)的第二節(jié)，是繼第一節(jié)集合概 念后的又一節(jié)概念課，通過集合與集合之間的關(guān)系，比較元素與集合的關(guān)系，使同學(xué)們加深對集合概念的理解。另一方面，用定義的方法來判定集合與集合的關(guān)系，也是本節(jié)課的難點(diǎn)之一，需要對概念在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步熟練掌握。因此，本節(jié)課內(nèi)容較多，需要同學(xué)們通過簡單而直觀的實(shí)例來區(qū)分概念，從而達(dá)到熟練掌握的效果。 (1)集合的運(yùn)算（交集、并集） 一、 教學(xué)內(nèi)容分析 本小節(jié)的重點(diǎn)是交集與并集的概念，只要結(jié)合圖形，抓住概念中的關(guān)鍵詞“且”、“或”，理解它們并不困難?？梢越柚鷶?shù)運(yùn)算幫助理解“且”、“或”的含義：求方程組的解 集是求各個(gè)方程的解集的交集，求方程 的解集，則是求方程 和 的解集的并集。 本小節(jié)的難點(diǎn)是弄清交集與并集的概念及符號之間的聯(lián)系和區(qū)別。突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是掌握有關(guān)集合的術(shù)語和符號、簡單的性質(zhì)和推論，并會(huì)正確地表示一些簡單的集合。 利用數(shù)形結(jié)合的思想，將滿足條件的集合用維恩圖或數(shù)軸一一表示出來，從而求集合的交集、并集、補(bǔ)集，這是既簡單又直觀且是最基本、最常見的方法，要注意靈活運(yùn)用． 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 理解交集與并集的概念 。 掌握有關(guān)集合運(yùn)算的術(shù)語和符號，能用圖示法表示集合之間的關(guān)系 ,會(huì)求給定集合的交集與并集；知道交集、并集的基本運(yùn)算性質(zhì)。發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)、交流的能力。通過對交集、并集概念的學(xué)習(xí)，提高觀察、比較、分析、概括等能力。 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) ： 交集與并集概念、數(shù)形結(jié)合思想方法在概念理解與解題中運(yùn)用； 交集與并集概念 、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系。 四、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí)回顧 思考并回答下列問題 子集與真子集的區(qū)別。 含有 n個(gè)元素的集合子集與真子集的個(gè)數(shù)。 空集的特殊意義。 二、講授新課 ： 關(guān)于交集 概念引入 （ 1）考察下面集合的元素，并用列舉法表示（課 p12） A= }10{ 的正約數(shù)為xx B= }15{ 的正約數(shù)為xx C= }1510{ 的正公約數(shù)與為xx 解答： A={1， 2， 5， 10}， B={1， 3， 5， 15}，