【正文】 第五章 時間序列計量經(jīng)濟學(xué)模型的理論與方法 第一節(jié) 隨機時間序列的特征 第二節(jié) 隨機時間序列分析模型 第三節(jié) 協(xié)整分析與誤差修正模型 167。 隨機時間序列的特征 一、隨機時間序列模型簡介 二、刻畫時間序列的自相關(guān)函數(shù) 三、時間序列平穩(wěn)性的檢驗 四、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 一、隨機時間序列模型簡介 前提假設(shè) ：時間序列是由某個隨機過程生成的。 即，假定序列 Y1,Y2,…, YT 的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到。 注意： 模型不必（一般也不會）與序列的過去實際行為完全一致，因為序列和模型都是隨機的，只要模型能夠刻畫序列的隨機特征就可以應(yīng)用。 1. 時間序列過程 ? 規(guī)范地，一個 標有時間腳標的隨機變量序列 被稱為一個 隨機過程 (Stochastic process)或 時間序列過程 (time series process)。 ? 當搜集到一個時間序列數(shù)據(jù)集時，就得到該 隨機過程的一個可能結(jié)果 或 實現(xiàn) (realization)。 ? 該時間序列 所有可能的實現(xiàn)集 ，相當于橫截面分析中的 總體 。 ? 樣本容量就是我們觀察的時期數(shù)。 美國通貨膨脹和失業(yè)率部分數(shù)據(jù)表 year 通貨膨脹率 (%) 失業(yè)率 (%) 1948 1949 1950 1951 ﹕ ﹕ ﹕ 1998 1999 2023 2023 2023 2023 2. 白噪聲和隨機游走 ? 另一個簡單的隨機時間列序被稱為 隨機游走(random walk)， 該序列由如下隨機過程生成： Yt = Yt1 + ?t 這里 ， ?t 是一個白噪聲 。 ? 一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立同分布序列： Yt = ?t ， ?t ~ N(0,?2) 該序列常被稱為是一個 白噪聲 (white noise)。 ? 對隨機游走過程的預(yù)測： 1 1 11? ( , , )()T T TT T TY E Y Y YY E Y?????? ? ? T+1期的預(yù)測： 2 2 1 1 212? ( , , ) ( )T T T T TT T T TY E Y Y Y E YE Y Y???? ? ? ???? ? ?? ? ? ? T+2期的預(yù)測： 類似地， T + l 期的預(yù)測也是 YT 。 預(yù)測誤差的方差隨著 l 的增大而增大。 T +l 期的預(yù)測誤差的方差為 。 2l ?? ? 帶漂移的隨機游走過程 1t t tY Y d ??? ? ? 如果 d 0，平均而言過程向上移動， T+1期的預(yù)測為： T + l 期的預(yù)測則是： 1 1 1? ( , , )T T T TY E Y Y Y Y d??? ? ??T l TY Y ld? ?? 預(yù)測的標準誤差同隨機游走過程。預(yù)測值隨 l增加而線性增加，預(yù)測標準誤差隨 而增大。 3. 平穩(wěn)和非平穩(wěn)時間序列 ? 經(jīng)典回歸分析 暗含 著一個重要 假設(shè) ： 數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 ? 數(shù)據(jù)非平穩(wěn) ，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ) ——“一致性”要求 —— 被破懷。 ? 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量 X是非隨機變量 ? 放寬該假設(shè)： X是隨機變量，則需進一步假定： X與隨機擾動項 ? 不相關(guān) ∶ Cov(X,?) = 0 (1) 平穩(wěn)性與經(jīng)典回歸 任一隨機時間按序列 Y1,Y2,…, YT 都可以被認為是由一組聯(lián)合分布隨機變量生成，即 Y1,Y2,…, YT代表一個聯(lián)合概率分布函數(shù) 的某一特定結(jié)果。那么，一個未來的觀測 Yt+1可以認為是由條件概率分布函數(shù) 生成，即 是給定過去觀測值 Y1,Y2,…, YT下的 Yt+1的概率分布。定義平穩(wěn)過程為其聯(lián)合分布和條件分布均不隨時間而變化的過程。即如果 Yt是平穩(wěn)，則對任意的 t， k和 m，都有： (2) 平穩(wěn)過程的性質(zhì) 12( , , , )Tp Y Y Y1 1 2( , , , )TTp Y Y Y Y?1 1 2( , , , )p Y Y Y Y?( , , ) ( , , )( ) ( )t t k t m t k mt t mp Y Y p Y Yp Y p Y? ? ? ????且 如果時間序列 Yt 滿足： 1）均值 E(Yt)=? 是 與時間 t 無關(guān)的常數(shù)； 2）方差 Var(Yt)=?2是 與時間 t 無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差 Cov(Yt,Yt+k)=?k 是 只與時期間隔 k 有關(guān) ， 與時間 t 無關(guān) 的常數(shù)； 則稱該隨機時間序列是 平穩(wěn)的 （ stationary)，而該隨機過程是一 平穩(wěn)隨機過程 （ stationary stochastic process） 。 問題： 白噪聲過程是否平穩(wěn)？ 隨機游走過程是否平穩(wěn)？ 如果 Yt 是隨機游走過程，對 Yt 取一階差分 (first difference): ?Yt =Yt ?Yt1= ?t 由于 ?t 是一個白噪聲，則序列 ?Yt 是平穩(wěn)的。 如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 (3) 齊次非平穩(wěn)過程 如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，經(jīng)過一次或多次差分后成為平穩(wěn)序列，產(chǎn)生這樣的非平穩(wěn)序列的隨機過程稱為 齊次隨機過程 。原序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列所需的差分次數(shù)稱為 齊次的階數(shù) 。 如果 Yt 是 一階齊次非平穩(wěn)過程 ，則序列 : Wt =Yt ?Yt1= ?Yt 就是平穩(wěn)的。 如果 Yt 是 二階齊次非平穩(wěn)過程 ，則序列： Wt = ?Yt ? ?Yt1= ?2Yt 就是平穩(wěn)的。 (4) 單整與非單整 ? 如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)序列 ,也稱 原序列 是 1階單整 (integrated of 1)序列 , 記為 I(1)過程。如果經(jīng)過 d 次差分 后變成平穩(wěn)序列 , 則稱原序列是 d 階單整 (integrated of d), 記為I(d)。 ? I(0)代表平穩(wěn)時間序列 。 ? 多次差分無法變?yōu)槠椒€(wěn)的時間序列稱為 非單整 的 (nonintegrated)。 只有當 1 ? 1時，該隨機過程才是平穩(wěn)的。 2)? =1時 , 是一個隨機游走過程 , 也是非平穩(wěn)的 . ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(k)過程 的特例： Yt = ?1Yt1+?2Yt2…+ ?kYtk 該隨機過程平穩(wěn)性條件將在后面討論。 ? 隨機游走過程 是 1階自回歸 AR(1)過程 的特例 Yt = ?Yt1 + ?t 1)|?|1時 ， 該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的 ， 表現(xiàn)為持續(xù)上升 (? 1)或持續(xù)下降 (? 1)，因此是非平穩(wěn)的； 定義序列 Yt 的滯后期為 k的自相關(guān)系數(shù)為： 對于平穩(wěn)過程，有： 二、刻畫時間序列的自相關(guān)函數(shù) 22[( )( )] cov ( , )[( ) ] [( ) ] t t kt Y t k Y t t kkYYt Y t k YE Y Y Y YE Y E Y????????????????? 220[( )( )] cov ( , )t Y t k Y t t k kkYYE Y Y Y Y? ? ??? ? ?????? ? ?1. 自相關(guān)函數(shù)與 Q 統(tǒng)計量 例如， 假設(shè)隨機過程是 Yt = εt，其中 εt 是均值為零的獨立同分布隨機變量。則： ρ0 = 1，且對于 k 0， ρk = 0成立，即 Yt 是白噪聲過程，最好地預(yù)測報白噪聲的模型是 ? 0TlY ? ? 如果對所有的 k 0，序列的自相關(guān)函數(shù)為 0或近似為 0，則沒有必要建模預(yù)測該序列。 在實際應(yīng)用中，需要估計自相關(guān)函數(shù)，即樣本自相關(guān)函數(shù)：