排列組合解題策略(已修改)
2025-03-13 11:20 本頁(yè)面
【正文】 名稱內(nèi)容 分類原理 分步原理 定 義 相同點(diǎn) 不同點(diǎn) 兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系： 做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù) 直接（ 分類 ）完成 間接（ 分步驟 ）完成 做一件事，完成它可以有 n類辦法， 第一類辦法中有 m1種不同的方法， 第二類辦法中有 m2種不同的方法 … ， 第 n類辦法中有 mn種不同的方法， 那么完成這件事共有 N=m1+m2+m3+…m n 種不同的方法 做一件事，完成它可以有 n個(gè)步驟， 做第一步中有 m1種不同的方法， 做第二步中有 m2種不同的方法 …… ， 做第 n步中有 mn種不同的方法， 那么完成這件事共有 N=m1m 2m 3…m n 種不同的方法 . 排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系： 名 稱 排 列 組 合 定義 種數(shù) 符號(hào) 計(jì)算 公式 關(guān)系 性質(zhì) ， mnA mnC ( 1 ) ( 1 )mnA n n n m? ? ??? ? ?!( ) !mnnAnm? ?! 0 ! 1nnAn?? !)1()1(mmnnnC mn???????)!(!!mmnmn ??10 ?nC m m mn n mA C A??mnnmn CC ?? 11 ?? ?? mnmnmn CCC從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元 素， 按一定的順序 排成一列 從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元 素， 把它并成 一組 所有排列的的個(gè)數(shù) 所有組合的個(gè)數(shù) 11mmnnA nA?? 某校組織學(xué)生分 4個(gè)組從 3處風(fēng)景點(diǎn)中選一處去春游 ,則不同的春游方案的種數(shù)是（ ）A. B. C. D. C34A3443 3 C 將數(shù)字 4 填入標(biāo)號(hào)為 4 的四個(gè)方格里 , 每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字都不相同的填法共有（ ）。 A. 6 種 B. 9種 B 解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下 : ,即采取分步還 是分類 ,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行 ,確定分多 少步及多少類。 (有序 )還是 組合 (無(wú)序 )問(wèn)題 ,元素總數(shù)是多少及取出多 少個(gè)元素 . ※ 解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交 叉，因此必須掌握一些常用的解題策略 判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題 ? (1)設(shè)集合 A={a,b,c,d,e}，則集合 A的含有 3個(gè)元素的子集有多少個(gè) ? (2)某鐵路線上有 5個(gè)車(chē)站，則這條鐵路線上 共需準(zhǔn)備多少種車(chē)票 ? 有多少種不同的火車(chē)票價(jià)？ 組合問(wèn)題 排列問(wèn)題 (3)10名同學(xué)分成人數(shù)相同的數(shù)學(xué)和 英語(yǔ)兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少種分法 ? 組合問(wèn)題 (4)10人聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)扇酥g要 握手相互問(wèn)候，共需握手多少次 ? 組合問(wèn)題 (5)從 4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出 2個(gè)安排游覽 ,有多少種不同的方法 ? 組合問(wèn)題 (6)從 4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出 2個(gè) ,并確定這 2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序 ,有多少種不同的方法 ? 排列問(wèn)題 組合問(wèn)題 合理分類和準(zhǔn)確分步 解排列（或）組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏； 按 事情的發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分步層次清楚 . 總的原則 — 合理 分類和 準(zhǔn)確 分步 解排列（或）組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，事情的發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。 分析：先安排甲，按照要求對(duì)其進(jìn)行分類，分兩類： 根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有 例 1 6個(gè)同學(xué)和 2個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？ 1）若甲在排尾上，則剩下的 5人可自由安排，有 種方法 . 55A2) 若甲在第 7位，則 排尾的排法有 種， 1位的排法有 種 , 第 7位的排法有 種 ，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有 種。 1414A 44A 441414 AAA ??再安排老師，有 2種方法。 .(1008)(44141455 種）???? AAAA 把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ) 例 1 如圖，某電子器件是由三個(gè)電 阻組成的回路 ,其中有 6個(gè)焊接 點(diǎn) A， B， C， D， E， F，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了 , 那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（ ） 分析 :由加法原理可知 1 2 66 6 6 63C C C? ? ?????? ? ?由乘法原理可知： 2 2 2 2 2 21=63 合理分類與分步策略 例 .在一次演唱會(huì)上共 10名演員 ,其中 8人能唱歌 ,5人會(huì)跳舞 ,現(xiàn)要演出一個(gè) 2人唱歌 2人伴舞的節(jié)目 ,有多少選派方法 ? 解： 10演員中有 5人只會(huì)唱歌， 2人只會(huì)跳舞 , 3人為全能演員。 以只會(huì)唱歌的 5人是否 選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究 : 只會(huì)唱 的 5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有 ____ 種 ,只會(huì)唱的 5人中只有 1人選上唱歌人 員 ________種 ,只會(huì)唱的 5人中只有 2人 選上唱歌人員有 ____種，由分類計(jì)數(shù) 原理共有 ______________________種。 2233CC1 1 25 3 4C C C2255CC331 1 25 3 4C C C2255CC+ + 本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)： *以 3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn) *以 3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) *以只會(huì)跳舞的 2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn) 都可經(jīng)得到正確結(jié)果 解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素 的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分 步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不 漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的 始終。 有不同的數(shù)學(xué)書(shū) 7本，語(yǔ)文書(shū) 5本，英語(yǔ)書(shū) 4本，由其中取出不是同一學(xué)科的書(shū) 2本，共有多少種不同的取法？ （ 7 5 + 7 4 + 5 4 = 83） （ 4）（ 2023福建 理）從 6人中選 4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這 6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ） A． 300種 B． 240種 C． 144種 D． 96種 B 4名男生和 3名女生中選出 4人參加某個(gè)座 談會(huì)，若這 4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 _______ 34 練習(xí)題 2. 3成人 2小孩乘船游玩 ,1號(hào)船最多乘 3人 , 2 號(hào)船最多乘 2人 ,3號(hào)船只能乘 1人 ,他們?nèi)芜x 2只船或 3只船 ,但小孩不能單獨(dú)乘一只船 , 這 5人共有多少乘船方法 . 27 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略 例 0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字
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