【正文】 決策理論與方法決策理論與方法 ———— 隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)決策理論與方法 (1)合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院2023年年 3月月 3日日*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)性決策隨機(jī)性決策u 風(fēng)險性決策（隨機(jī)性決策）風(fēng)險性決策（隨機(jī)性決策） ：指有多種未來狀態(tài)和：指有多種未來狀態(tài)和相應(yīng)后果，但只能得到各種狀態(tài)發(fā)生的概率而難以相應(yīng)后果，但只能得到各種狀態(tài)發(fā)生的概率而難以獲得充分可靠信息的決策問題。獲得充分可靠信息的決策問題。u 特點特點 ：狀態(tài)的隨機(jī)性；決策結(jié)果的效用特性。：狀態(tài)的隨機(jī)性；決策結(jié)果的效用特性。u 決策的已知變量決策的已知變量 ：：l 狀態(tài)空間的概率分布狀態(tài)空間的概率分布 Θ,P={?1,p1, ?2,p2 ,…, ?n,pn}l 后果的效用函數(shù)后果的效用函數(shù) (或損失函數(shù)或損失函數(shù) )：： u(cij)， cij表示采取方案表示采取方案 ai時出現(xiàn)狀態(tài)時出現(xiàn)狀態(tài) ?j的后果的后果u 解決問題的主要理論方法解決問題的主要理論方法 ：概率論與數(shù)理統(tǒng)計：概率論與數(shù)理統(tǒng)計*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)決策理論與方法隨機(jī)決策理論與方法主觀概率、主觀概率效用函數(shù)、效用函數(shù)決策準(zhǔn)則、決策準(zhǔn)則貝葉斯決策分析、貝葉斯決策分析*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 概率的定義概率的定義u 古典概率的定義古典概率的定義 ：在相同條件下進(jìn)行了：在相同條件下進(jìn)行了 n次試驗（隨機(jī)試驗次試驗（隨機(jī)試驗），其中事件），其中事件 A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù) nA稱為事件稱為事件 A發(fā)生的頻數(shù)，比值發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件稱為事件 A發(fā)生的頻率，記為發(fā)生的頻率，記為 fn(A)，則古典概率的定義，則古典概率的定義為：為： p(A)=limn→∞ fn(A)u Laplace的定義的定義 ：： p(A)=k/n；其中；其中 k為事件為事件 A所包含的基本事所包含的基本事件數(shù)，件數(shù)， n為基本事件為基本事件 ei的總數(shù)。（基本事件數(shù)有限，每個基本的總數(shù)。（基本事件數(shù)有限，每個基本事件等概率）事件等概率）u 公理化定義公理化定義 ：： E是隨機(jī)實驗，是隨機(jī)實驗， S是是 E的樣本空間，對的樣本空間，對 E的每一的每一事件事件 A，對應(yīng)有確定的實數(shù)，對應(yīng)有確定的實數(shù) p(A)，若，若 p(A)滿足：滿足： ①① 非負(fù)性：非負(fù)性：p(A)≥0；； ②② 規(guī)范性：規(guī)范性： p(S)=1；； ③③ 列可加性：對兩兩不相容事列可加性：對兩兩不相容事件件 Ak，有，有 p(∪∪ kAk)=Σkp(Ak)。 (Ai∩Aj=Φ,i≠j)*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 概率的定義概率的定義u 客觀客觀 (Objective)概率概率 ：上述三種定義的概率是在多次重復(fù)試：上述三種定義的概率是在多次重復(fù)試驗（隨機(jī)試驗）中，隨機(jī)事件驗（隨機(jī)試驗）中，隨機(jī)事件 A發(fā)生的可能性的大小的度量發(fā)生的可能性的大小的度量，稱為客觀概率。，稱為客觀概率。u 主觀主觀 (Subjective)概率概率 ：在實際管理決策中，許多事件的發(fā)：在實際管理決策中，許多事件的發(fā)生概率是無法通過隨機(jī)試驗獲得的，或條件不允許，或事件生概率是無法通過隨機(jī)試驗獲得的，或條件不允許，或事件本身不允許。因此需要一種方法來人為設(shè)定事件發(fā)生的概率本身不允許。因此需要一種方法來人為設(shè)定事件發(fā)生的概率，稱為主觀概率。，稱為主觀概率。 主觀概率是人們根據(jù)經(jīng)驗、各方面的知識主觀概率是人們根據(jù)經(jīng)驗、各方面的知識以及了解到的客觀情況進(jìn)行分析、推理、綜合判斷，對特定以及了解到的客觀情況進(jìn)行分析、推理、綜合判斷，對特定事件發(fā)生的可能性的信念（或意見、看法）的度量事件發(fā)生的可能性的信念（或意見、看法）的度量(Savage,1954)。*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布與先驗假設(shè)先驗分布與先驗假設(shè)u 先驗分布先驗分布 (Prior Distribution)：根據(jù)先驗信息所確定的概率：根據(jù)先驗信息所確定的概率分布叫先驗分布，獲得先驗分布是貝葉斯分析的基礎(chǔ)。分布叫先驗分布，獲得先驗分布是貝葉斯分析的基礎(chǔ)。 決策決策中先驗分布的獲得具有高度的主觀性中先驗分布的獲得具有高度的主觀性 。u 先驗假設(shè)先驗假設(shè) ：為使先驗分布估計規(guī)范化，需要做一定的假設(shè)。：為使先驗分布估計規(guī)范化，需要做一定的假設(shè)。l 連通性假設(shè)連通性假設(shè) ：指事件：指事件 A和事件和事件 B發(fā)生的可能性是可比的，即發(fā)生的可能性是可比的，即p(A)p(B), p(A)~p(B), p(A)p(B)必有一個成立。必有一個成立。l 傳遞性假設(shè)傳遞性假設(shè) ：若對事件：若對事件 A、 B、 C，有，有 p(A)p(B), p(B)p(C), 則則p(A)p(C)。（滿足連通性和傳遞性的二元關(guān)系才能構(gòu)成完全。（滿足連通性和傳遞性的二元關(guān)系才能構(gòu)成完全序）序）l 部分與全體關(guān)系假設(shè)部分與全體關(guān)系假設(shè) ：若事件：若事件 A是事件是事件 B的一部分，則的一部分，則p(B)≥p(A)。*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布估計先驗分布估計 :比較法比較法u 比較法比較法 1離散型離散型 （（ 對事件發(fā)生的各種狀態(tài)加以比較確定相對事件發(fā)生的各種狀態(tài)加以比較確定相對似然率對似然率 ））l 某氣象專家對當(dāng)年的氣候狀況進(jìn)行評估，認(rèn)為當(dāng)年氣候某氣象專家對當(dāng)年的氣候狀況進(jìn)行評估，認(rèn)為當(dāng)年氣候正常正常 (?1)與受災(zāi)的可能性之比約為與受災(zāi)的可能性之比約為 3:2；如果受災(zāi)，則水災(zāi)；如果受災(zāi)，則水災(zāi)(?2)、旱災(zāi)、旱災(zāi) (?3) 的可能性相當(dāng)。據(jù)此，我們可推算出當(dāng)年的可能性相當(dāng)。據(jù)此，我們可推算出當(dāng)年氣候狀況的先驗分布：氣候狀況的先驗分布：?(?1)+?(?2)+?(?3)=1。 ?(?1)/(?(?2)+?(?3))=3/2。 ?(?2)=?(?3)解得：解得： ?(?1)=， ?(?2)=， ?(?3)=l 思考：設(shè)某決策問題有思考：設(shè)某決策問題有 n個狀態(tài)，有個狀態(tài)，有 m個專家對各狀態(tài)發(fā)個專家對各狀態(tài)發(fā)生的可能性進(jìn)行了比較評估，我們?nèi)绾尉C合利用所有專生的可能性進(jìn)行了比較評估，我們?nèi)绾尉C合利用所有專家的評估結(jié)果得到最終的先驗分布？家的評估結(jié)果得到最終的先驗分布？*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布估計：打賭法先驗分布估計：打賭法u 打賭法（離散型）打賭法（離散型）l 設(shè)打賭者設(shè)打賭者 (A)的個人財產(chǎn)為的個人財產(chǎn)為 WW 。設(shè)事件。設(shè)事件 E發(fā)生時發(fā)生時 A獲得收入獲得收入為為 p， (0p1；； pW ：保證打賭者的效用函數(shù)是線性的：保證打賭者的效用函數(shù)是線性的 )，不發(fā)生時，不發(fā)生時 A獲得的收入為獲得的收入為 1p。調(diào)整。調(diào)整 p值使值使 A感覺無論事感覺無論事件件 E是否發(fā)生，其收入基本相同，即是否發(fā)生，其收入基本相同，即 ?(E)p=(1?(E))(1p)。 則事件則事件 E發(fā)生的可能性發(fā)生的可能性 ?(E)=1p。不下雨 下 雨分蛋糕，猜下雨*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布估計：直方圖法先驗分布估計：直方圖法u 直方圖法直方圖法 （適合于自然狀態(tài)（適合于自然狀態(tài) ?在實軸某個區(qū)間在實軸某個區(qū)間 連續(xù)連續(xù) 取值取值 ））l 區(qū)間離散化：把區(qū)間離散化：把 ?的取值范圍劃分為若干子區(qū)間的取值范圍劃分為若干子區(qū)間 ?1…… ?n；；l 賦值：估計每個區(qū)間的似然率賦值：估計每個區(qū)間的似然率 ?(?i)，據(jù)此作出直方圖；，據(jù)此作出直方圖；l 變換：將直方圖擬合為概率分布函數(shù)變換：將直方圖擬合為概率分布函數(shù) F(x)=Σ?≤x ?(?)。不足之處：不足之處：u 區(qū)間數(shù)區(qū)間數(shù) n難以確定難以確定u 似然率似然率 ?(?i)估計困難估計困難u F(x)通常有較大的尾部誤差通常有較大的尾部誤差*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布估計：比較法先驗分布估計：比較法u 比較法比較法 2連續(xù)型連續(xù)型l 離散化：同直方圖法離散化：同直方圖法l 比較賦值比較賦值v選擇一個似然率最大的子區(qū)間選擇一個似然率最大的子區(qū)間 ?k作為基準(zhǔn)，設(shè)其相對似然作為基準(zhǔn)，設(shè)其相對似然率為率為 Rk，然后給出其他各區(qū)間，然后給出其他各區(qū)間 ?i相對于相對于 ?k的似然率的似然率 Ri，則，則?(?i)=Ri/ΣRiv由決策者給出每兩個子區(qū)間似然率的比例關(guān)系：由決策者給出每兩個子區(qū)間似然率的比例關(guān)系： rij= ?(?i)/ ?(?j)，然后計算出每個狀態(tài)，然后計算出每個狀態(tài) ?i的似然率的似然率 ?(?i)。l 變換擬合：同直方圖法變換擬合：同直方圖法l 思考：思考： (1)如果決策者判斷沒有誤差，即如果決策者判斷沒有誤差，即 rij*rji=1, rij*rjk=rik，如何求，如何求 ?(?i)？？ (2)如果決策者判斷有誤差，則又如何求如果決策者判斷有誤差，則又如何求?(?i)？？*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布估計：分位點法先驗分布估計：分位點法u 區(qū)間對分法（分位點法）區(qū)間對分法（分位點法） 連續(xù)型連續(xù)型l 確定事件不可能發(fā)生的臨界狀態(tài)取值（如某地區(qū)人口出確定事件不可能發(fā)生的臨界狀態(tài)取值（如某地區(qū)人口出生率不可能低于生率不可能低于 9‰ ，但也不可能超過，但也不可能超過 18‰ ）；）；l 求中位數(shù)：當(dāng)狀態(tài)取值為此值時，大于或小于此值的狀求中位數(shù)：當(dāng)狀態(tài)取值為此值時，大于或小于此值的狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等（如某地區(qū)人口出生率的中位數(shù)為態(tài)出現(xiàn)的概率相等（如某地區(qū)人口出生率的中位數(shù)為‰ ）；）；l 確定上下四分位點；確定上下四分位點；l 確定八分位點（一般僅取到八分位點）。確定八分位點（一般僅取到八分位點）。*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布估計：分位點法先驗分布估計：分位點法CDF：出生率累積分布函數(shù)*決策理論與方法 隨機(jī)決策理論與方法主觀概率主觀概率 —— 先驗分布估計：分布函數(shù)法先驗分布估計：分布函數(shù)法u 與給定形式的分布函數(shù)相匹配與給定形式的分布函數(shù)相匹配 （（ 最常用也容易濫用最常用也容易濫用 ））[Matlab工具箱：工具箱： Statistics Toolbox / Probability Distributions]l 均勻分布（連續(xù)型）均勻分布（連續(xù)