【正文】 第九章 時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型 ? 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn) ? 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 ? 協(xié)整分析與誤差修正模型 167。 時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn) 一、 問題的引出： 非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型 二、 時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 三、 平穩(wěn)性的圖示判斷 四、 平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn) 五、 單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程 一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型 ⒈常見的數(shù)據(jù)類型 到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有： ? 時(shí)間序列數(shù)據(jù) （ timeseries data) ? 截面數(shù)據(jù) (crosssectional data) ? 平行 /面板數(shù)據(jù) （ panel data/timeseries crosssection data) ★ 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù) ⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 ? 經(jīng)典回歸分析 暗含 著一個(gè)重要 假設(shè) ： 數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 ? 數(shù)據(jù)非平穩(wěn) ，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ) ——“一致性 ”要求 ——被破懷。 ? 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量 X是非隨機(jī)變量 ? ? nXX i /)( 2 ? ???? QnXXP in )/)(( 2lim依概率收斂： (2) 放寬該假設(shè)： X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ? 不相關(guān) ∶ Cov(X,?)=0 第（ 2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的 “一致性 ”特性： ?? ???)?(limnP第（ 1）條是 OLS估計(jì)的需要 ???? ????nxnuxxuxiiiiii//?22 ??? ???? ????? ???? QnxPnuxPPiiin0/lim/lim?lim2▲ 如果 X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù) （如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），則（ 2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足 “一致性 ”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。 因此 ： 注意： 在雙變量模型中： 表現(xiàn)在 :兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性 （有較高的 R2)。 例如： 如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。 ⒊ 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn) “ 虛假回歸 ” 問題 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中， 實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的 ， 而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣 ， 仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。 時(shí)間序列分析模型方法 就是在這樣的情況下， 以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論 。 時(shí)間序列分析 已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。 二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 定義： 假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一 隨機(jī)過程（ stochastic process）生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（ t=1, 2, … ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件： 1）均值 E(Xt)=?是與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 2）方差 Var(Xt)=?2是與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差 Cov(Xt,Xt+k)=?k 是 只與時(shí)期間隔 k有關(guān)，與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是 平穩(wěn)的 （ stationary)，而該隨機(jī)過程是一 平穩(wěn)隨機(jī)過程（ stationary stochastic process）。 例 ． 一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=?t ， ?t~N(0,?2) 該序列常被稱為是一個(gè) 白噪聲 （ white noise） 。 由于 Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零 ,由定義 ,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的 。 例 ． 另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走（ random walk） ， 該序列由如下隨機(jī)過程生成： X t=Xt1+?t 這里， ?t是一個(gè)白噪聲。 容易知道該序列有相同的均值 ： E(Xt)=E(Xt1) 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為 X0，則易知 : X1=X0+?1 X2=X1+?2=X0+?1+?2 ? ? Xt=X0+?1+?2+?+ ?t 由于 X0為常數(shù)， ?t是一個(gè)白噪聲，因此 : Var(Xt)=t?2 即 Xt的方差與時(shí)間 t有關(guān)而非常數(shù) ， 它是一非平穩(wěn)序列 。 ? 然而，對(duì) X取 一階差分 （ first difference） : ?Xt=XtXt1=?t 由于 ?t是一個(gè)白噪聲，則序列 {Xt}是平穩(wěn)的。 后面將會(huì)看到 :如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列 。 ? 事實(shí)上， 隨機(jī)游走過程 是下面我們稱之為 1階自回歸 AR(1)過程 的特例 : Xt=?Xt1+?t 不難驗(yàn)證 : 1)|?|1時(shí)，該隨機(jī)過程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升 (?1)或持續(xù)下降 (?1)，因此是非平穩(wěn)的； 2)?=1時(shí)，是一個(gè)隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的 。 167。 :只有當(dāng) 1?1時(shí)，該隨機(jī)過程才是平穩(wěn)的。 ? 1階自回歸過程 AR(1)又是如下 k階自回歸 AR(K)過程 的特例： Xt= ?1Xt1+?2Xt2? +?kXtk 該隨機(jī)過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。 三、平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷 ? 給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過該序列的 時(shí)間路徑圖 來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。 ? 一個(gè) 平穩(wěn)的時(shí)間序列 在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過程。 ? 而 非平穩(wěn)序列 則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。 tX tX t t (a ) (b ) 圖 平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序 列圖 ? 進(jìn)一步的判斷 :檢驗(yàn)樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形 定義隨機(jī)時(shí)間序列的 自相關(guān)函數(shù)（ autocorrelation function, ACF） 如下 ： ?k=?k/?0 自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期 k的遞減函數(shù) (Why?)。 實(shí)際上 ,對(duì)一個(gè)隨機(jī)過程只有一個(gè)實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算 樣本自相關(guān)函數(shù) （ Sample autocorrelation function）。 ? 一個(gè)時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為： ? ?? ?? ???????????nttkntkttkXXXXXXr121?,3,2,1?k 易知 ， 隨著 k的增加 ， 樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零 。 但從下降速度來看 ， 平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多 。 kr kr 1 1 0 k 0 k ( a ) ( b ) 圖 平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序列樣本相關(guān)圖 ? 注意 : 確定樣本自相關(guān)函數(shù) rk某一數(shù)值是否足夠接近于 0是非常有用的，因?yàn)樗?檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) ?k的真值是否為 0的假設(shè)。 Bartlett曾證明 :如果時(shí)間序列由白噪聲過程生成 ， 則對(duì)所有的 k0， 樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以 0為均值 ， 1/n 為方差的正態(tài)分布 ， 其中 n為樣本數(shù) 。 也可檢驗(yàn)對(duì)所有 k0， 自相關(guān)系數(shù)都為 0的聯(lián)合假設(shè) ， 這可通過如下 QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行： ?????????????mkkLB knrnnQ12)2( 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為 m的 ?2分布（ m為滯后長(zhǎng)度）。 因此 :如果計(jì)算的 Q值大于顯著性水平為 ?的臨界值，則有 1?的把握拒絕所有 ?k(k0)同時(shí)為 0的假設(shè)。 例 : 表 Random1是通過一隨機(jī)過程（隨機(jī)函數(shù)）生成的有 19個(gè)樣本的隨機(jī)時(shí)間序列。 表 一個(gè)純隨機(jī)序列與隨機(jī)游 走序列的檢驗(yàn) 序號(hào) R andom1 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ R andom2 自相關(guān)系數(shù) kr (k=0,1, … 17) LBQ 1 K=0, 1 . 0 0 0 2 K=1, 0 . 0 5 1 3 K=2, 0 . 3 9 3 4 K=3, 0 . 1 4 7 5 K=4, 0 . 2 8 0 6 K=5, 0 . 1 8 7 7 K=6, 0 . 3 6 3 8 K=7, 0 . 1 4 8 9 K=8, 0 . 3 1 5 10 K=9, 0 . 1 9 4 11 K=10, 0 . 1 3 9 12 K=11, 0 . 2 9 7 13 K=12, 0 . 0 3 4 14 K=13, 0 . 1 6 5 15 K=14, 0 . 1 0 5 16 K=15, 0 . 0 9 4 17 K=16, 0 . 0 3 9 18 K=17, 0 . 0 2 7 19 ? 容易驗(yàn)證： 該樣本序列的均值為 0，方差為。 ? 從圖形看： 它在其樣本均值 0附近上下波動(dòng)，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到 0，隨后在 0附近波動(dòng)且逐漸收斂于 0。 （ a ） （ b ） 0 . 6 0 . 4 0 . 20 . 00 . 20 . 40 . 62 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 0 .8 0 .40 .00 .40 .81 .22 4 6 8 10 12 14 16 18R A N D O M 1 A C ? 由于該序列由一隨機(jī)過程生成，可以認(rèn)為不存在序列相關(guān)性，因此 該序列為一白噪聲。 ? 根據(jù) Bartlett的理論： ?k~N(0,1/19)， 因此任一 rk(k0)的 95%的置信區(qū)間都將是 : ]4 4 9 ,4 4 9 []19/,19/[],[ ????????? ?? ZZ ? 可以看出 :k0時(shí)， rk的值確實(shí)落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受 ? k(k0)為 0的假設(shè) 。 ? 同樣地 ， 從 QLB統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算值看，滯后 17期