62(統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布)(已修改)
2025-03-04 22:21 本頁(yè)面
【正文】 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 在利用樣本推斷總體的性質(zhì)時(shí) ， 往往不能直接利用樣本 ， 而需要對(duì)它進(jìn)行一定的加工 ， 這樣才能有效地利用其中的信息 ， 否則 ， 樣本只是呈現(xiàn)為一堆 “ 雜亂無(wú)章 ” 的數(shù)據(jù) ． 第 6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ) 【 例 】 從某地區(qū)隨機(jī)抽取 50戶農(nóng)民 ， 調(diào)查其人均年收入情況 ， 得到數(shù)據(jù) （ 單位 :元 ） 如下： 試對(duì)該地區(qū)農(nóng)民收入的水平和貧富懸殊程度做個(gè)大致分析 ． 924 800 916 704 870 1040 824 690 574 490 972 988 1266 684 764 940 408 804 610 852 602 754 788 962 704 712 854 888 768 848 882 1192 820 878 614 846 746 828 792 872 696 644 926 808 1010 728 742 850 864 738 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 解 ： 顯然 ， 如果不進(jìn)行加工 ， 面對(duì)這一大堆大小參差不齊的數(shù)據(jù) ， 很難得出什么印象 ． 但是可以對(duì)這些數(shù)據(jù)稍事加工 ， 如記各農(nóng)戶的人均年收入分別為 x1， x2， ...， x50， 計(jì)算得到 這樣 ， 就可以了解到該地區(qū)農(nóng)民的平均收入和該地區(qū)農(nóng)民貧富懸殊的大致情況：農(nóng)民的年人均平均收入大約為 ， 標(biāo)準(zhǔn)差約為 ，貧富懸殊不算很大 ． 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 ,501?? ??iixx )(1501 5012 ???? ??i i xxs 由此可見(jiàn)對(duì)樣本的加工是十分重要的 ． 對(duì)樣本加工 ， 主要就是構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量 ． 統(tǒng)計(jì)量 定義 設(shè) X1， X2， … ， Xn為來(lái)自總體 X的樣本 ，稱 不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù) g(X1， X2， … ， Xn)為 統(tǒng)計(jì)量 ． 若 x1， x2， ...， xn為樣本觀測(cè)值 ， 則稱g(x1， x2， ...， xn)為統(tǒng)計(jì)量 g(X1， X2， … ， Xn)的觀測(cè)值 . 統(tǒng)計(jì)量是處理 、 分析數(shù)據(jù)的主要工具 ． 對(duì)統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)最基本的要求就是可以將樣本觀測(cè)值代入進(jìn)行計(jì)算 ， 因而不能含有任何未知的參數(shù) ． 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 【 例 】 設(shè) X1， X2， … ， Xn是來(lái)自總體 X的樣本 ，X～ N(?， ? 2)， 其中 ? 、 ? 2為未知參數(shù) ， 則 X1， min{ X1， X2， … ， Xn } 均為統(tǒng)計(jì)量 ， 但諸如 等均不是統(tǒng)計(jì)量 ， 因它含有未知參數(shù) ? 或 ?． 常用的統(tǒng)計(jì)量有如下幾種： 統(tǒng)計(jì)量 ,311 21 XX ? ,)(112???niiXn ??1X1. 有關(guān)一維總體的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) X1， X2， … ， Xn為總體 X的樣本 ， x1， x2， ...，xn為樣本觀測(cè)值 ， (1) 樣本均值 常用來(lái)作為總體期望 （ 均值 ） 的估計(jì)量 ， 其觀測(cè)值為 統(tǒng)計(jì)量 ???niiXnX11???niixnx11 (2) 樣本方差 (3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了樣本數(shù)據(jù)的分散程度 ， 常用來(lái)作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量 . 觀測(cè)值分別為 統(tǒng)計(jì)量 ???? ??nii XXnS122 )(11,)(11122 ?????nii xxns 2SS ? ??????nii xxnss122 )(11 ???????? ?? ??nii nXn12211 (4) 樣本 k階原點(diǎn)矩 （ 簡(jiǎn)稱樣本 k階矩 ） ， (k = 1， 2， … ) (5) 樣本 k階中心矩 ， (k = 2， 3， … ) 顯然 Ak和 Bk的觀測(cè)值分別記為 統(tǒng)計(jì)量 ???nikik XnA11 ????nikik XXnB1)(1,1 XA ? ? ??nii XXnB122 )(1,11???nikik xna ????nikik xxnb1)(1定理 設(shè)總體 X的期望 E(X) = ? ,方差 D(X) = ? 2，X1， X2， … ， Xn為總體 X的樣本 ， ， S2分別為樣本均值和樣本方差 ， 則 統(tǒng)計(jì)量 ??? )()( XEXE nnXDXD 2)()( ???22 )()( ??? XDSE ?)( 2S ?????? ?? ??nii XXnE12)(11 ?????????????? ??? ??nii XnXnE12211?????? ??? ??nii XnEXEn122 )()(11 ?????????????? ???? ??ni nnn12222 )(11 ????2??由辛欽大數(shù)定理和依概率收斂的性質(zhì)可以證明 定理 設(shè)總體 X的 k階原點(diǎn)矩 E(X k) = ? k存在 （ k = 1， 2， … ， m） ， X1， X2， … ， Xn為總體 X的樣本 ， g(t1， t2， … ， tm)是 m元連續(xù)函數(shù) ， 則 特別有 統(tǒng)計(jì)量 ),...,2,1,()(11mknXEXnA kkniPkik ????? ??? ???)(),...,(),...,( 2121 ??? ?? ngAAAg nPn ???),( XEX P? ?? 212212122 )(1)(1 AAXnXnXXnBniinii ?????? ???? ).(212 XDP ??? ?? ??2. 有關(guān)二維總體的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) (X1， Y1)， (X2， Y2)， … ， (Xn， Yn)為二維總體 (X， Y)的樣本 ， 其觀測(cè)值為 (x1， y1)， (x2，y2)， … ， (xn， yn)， 則下列各量為統(tǒng)計(jì)量： (1) 樣本協(xié)方差 (2) 樣本相關(guān)系數(shù) 其中 S XY和 R XY常分別用來(lái)作為總體 X和 Y的協(xié)方差Cov(X， Y)與相關(guān)系數(shù) ?XY的估計(jì)量 ． 統(tǒng)計(jì)量 ??????niiiXY YYXXnS1))((11YXXYXY SSSR ? ,)(11122 ?????niiX XXnS ?????niiY YYnS122 )(11【 實(shí)驗(yàn) 】 用 Excel對(duì)例 63中的數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量樣本均值 、 樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的觀測(cè)值 ． 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備： (1) 函數(shù) AVERAGE的使用格式： AVERAGE(number1, number2, ...) 功能：計(jì)算給定樣本的算術(shù)平均值 ． (2) 函數(shù) VAR的使用格式： VAR(number1,number2,...) 功能：計(jì)算給定樣本的方差 ． (3) 函數(shù) STDEV的使用格式： STDEV(number1,number2,...
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