【正文】 2017 年江蘇省連云港市、徐州市、宿遷市高考數(shù)學三模試卷 一、填空題（每題 5 分，滿分 70 分，江答案填在答題紙上） 1．已知集合 A={﹣ 1， 1， 2}， B={0， 1， 2， 7}，則集合 A∪ B 中元素的個數(shù)為 ． 2．設 a， b∈ R， =a+bi（ i 為虛數(shù)單位），則 b 的值為 ． 3．在平面直角坐標系 xOy 中，雙曲線 ﹣ =1 的離心率是 ． 4．現(xiàn)有三張識字卡片，分別寫有 “中 ”、 “國 ”、 “夢 ”這三個字．將這三張卡片隨機排序，則能組成 “中國夢 ”的概率是 ． 5．如圖是一個算法的流程圖，則輸出的 k 的值為 ． 6．已知一組數(shù)據(jù) 3， 6， 9， 8， 4，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ． 7．已知實數(shù) x， y 滿足 ，則 的取值范圍是 ． 8．若函數(shù) f（ x） =2sin（ 2x+φ）（ 0＜ φ＜ ）的圖象過點（ 0， ），則函數(shù) f（ x）在 [0， π]上的單調減區(qū)間是 ． 9．在公比為 q且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 {an}中， Sn 為 {an}的前 n項和．若 a1= ，且 S5=S2+2，則 q 的值為 ． 10．如圖，在正三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，已知 AB=AA1=3，點 P 在棱 CC1上，則三棱錐 P﹣ ABA1的體積為 ． 11．如圖，已知正方 形 ABCD 的邊長為 2， BC 平行于 x 軸，頂點 A， B 和 C 分別在函數(shù) y1=3logax， y2=2logax 和 y3=logax（ a＞ 1）的圖象上，則實數(shù) a 的值為 ． 12．已知對于任意的 x∈ （﹣ ∞ ， 1） ∪ （ 5， +∞ ），都有 x2﹣ 2（ a﹣ 2） x+a＞ 0，則實數(shù) a 的取值范圍是 ． 13．在平面直角坐標系 xOy 中，圓 C：（ x+2） 2+（ y﹣ m） 2=3，若圓 C 存在以 G為中點的弦 AB，且 AB=2GO，則實數(shù) m的取值范圍是 ． 14．已知 △ ABC 三個內角 A， B， C 的對應邊分別為 α， b， c，且 C= ， c=2．當取得最 大值時， 的值為 ． 二、解答題（本大題共 6小題，共 90分 .解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） 15．如圖，在 △ ABC 中，已知點 D 在邊 AB 上， AD=3DB， cosA= ， cos∠ ACB= ，BC=13． （ 1）求 cosB 的值； （ 2）求 CD 的長． 16．如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，點 E 在棱 PC 上（異于點 P， C），平面 ABE 與棱 PD 交于點 F． （ 1）求證： AB∥ EF； （ 2）若平面 PAD⊥ 平面 ABCD，求證： AE⊥ EF． 17．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知橢 圓 C： + =1 的左、右頂點分別為 A， B，過右焦點 F 的直線 l 與橢圓 C 交于 P， Q 兩點（點 P 在 x 軸上方）． （ 1）若 QF=2FP，求直線 l 的方程； （ 2）設直線 AP， BQ 的斜率分別為 k1， k2，是否存在常數(shù) λ，使得 k1=λk2？若存在，求出 λ 的值；若不存在，請說明理由． 18．某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示．圓 O 的圓心與矩形 ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（ E 為上切點），與左右兩邊相交（ F， G 為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為 1m且 ≥ ，設 ∠ EOF=θ，透光區(qū)域的面積為 S． （ 1）求 S 關于 θ 的函數(shù)關系式，并求出定義域； （ 2）根據(jù)設計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當該比值最大 時，求邊 AB 的長度． 19．已知兩個無窮數(shù)列 {an}和 {bn}的前 n 項和分別為 Sn， Tn， a1=1， S2=4，對任意的 n∈ N*，都有 3Sn+1=2Sn+Sn+2+an． （ 1）求數(shù)列 {an}的通項公式； （ 2）若 {bn}為等差數(shù)列，對任意的 n∈ N*，都有 Sn＞ Tn．證明： an＞ bn； （ 3）若 {bn}為等比數(shù)列， b1=a1， b2=a2，求滿足 =ak（ k∈ N*）的 n 值． 20．已知函數(shù) f（ x） = +xlnx（ m＞ 0）， g（ x） =lnx﹣ 2． （ 1）當 m=1 時，求函數(shù) f（ x）的單調區(qū)間； （ 2）設函數(shù) h（ x） =f（ x）﹣ xg（ x）﹣ ， x＞ 0．若函數(shù) y=h（ h（ x））的最小值是 ，求 m的值； （ 3）若函數(shù) f（ x）， g（ x）的定義域都是 [1， e]，對于函數(shù) f（ x）的圖象上的任意一點 A，在函數(shù) g（ x）的圖象上都存在一點 B，使得 OA⊥ OB，其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)， O 為坐標原點，求 m的取值范圍． 【選做題】本題包括 A、 B、 C、 D 四小題，請選定其中兩題，并 在相應的答題區(qū)域內作答，若多做，則按作答的前兩題評分 .解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 41：幾何證明選講 21．如圖，圓 O 的弦 AB， MN 交于點 C，且 A 為弧 MN 的中點，點 D 在弧 BM上，若 ∠ ACN=3∠ ADB，求 ∠ ADB 的度數(shù)． 42：矩陣與變換 22．已知矩陣 A= ，若 A = ，求矩陣 A 的特征值． 44：坐標系與參數(shù)方程 23．在極坐標系中，已知點 A（ 2， ），點 B 在直線 l： ρcosθ+ρsinθ=0（ 0≤ θ≤ 2π）上，當線段 AB 最短時，求點 B 的極坐標． 45：不等式選講 24．已知 a， b， c 為正實數(shù)，且 a3+b3+c3=a2b2c2，求證： a+b+c≥ 3 ． 請考生在 2 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .[選修 44：坐標系與參數(shù)方程 ] 25．在平面直角坐標系 xOy 中，點 F（ 1， 0），直線 x=﹣ 1 與動直線 y=n 的交點為 M，線段 MF 的中垂線與動直線 y=n 的交點為 P． （ Ⅰ ）求點 P 的軌跡 Г 的方程； （ Ⅱ ）過動點 M 作曲線 Г 的兩條切線，切點分別為 A， B，求證： ∠ AMB 的大小為定值． [選修 45：不等式選講 ] 26． 已知集合 U={1， 2， … ， n}（ n∈ N*， n≥ 2），對于集合 U 的兩個非空子集A， B，若 A∩ B=?，則稱（ A， B）為集合 U 的一組 “互斥子集 ”．記集合 U 的所有 “互斥子集 ”的組數(shù)為 f（ n）（視（ A， B）與（ B， A）為同一組 “互斥子集 ”）． （ 1）寫出 f（ 2）， f（ 3）， f（ 4）的值； （ 2）求 f（ n）． 2017 年江蘇省連云港市、徐州市、宿遷市高考數(shù)學三模試卷 參考答案與試題解析 一、填空題（每題 5 分，滿分 70 分，江答案填在答題紙上） 1．已知集合 A={﹣ 1， 1， 2}， B={0， 1， 2， 7}，則集合 A∪ B 中元素的個數(shù)為 5 ． 【考點】 1D：并集及其運算． 【分析】 利用并集定義直接求解． 【解答】 解： ∵ 集合 A={﹣ 1， 1， 2}， B={0， 1， 2， 7}， ∴ A∪ B={﹣ 1， 0， 1， 2， 7}， 集合 A∪ B 中元素的個數(shù)為 5． 故答案為： 5． 2．設 a， b∈ R， =a+bi（