【正文】 ． 42：矩陣與變換 22．已知矩陣 A= ，若 A = ，求矩陣 A 的特征值． 【考點】 OV：特征值與特征向量的計算． 【分析】 利用矩陣的乘法，求出 a， d，利用矩陣 A 的特征多項式為 0，求出矩陣 A 的特征值． 【解答】 解：因為 A = = ， 所以 ，解得 a=2， d=1． 所以矩陣 A 的特征多項式為 f（ λ） = =（ λ﹣ 2）（ λ﹣ 1）﹣ 6=（ λ﹣ 4）（ λ+1）， 令 f（ λ） =0，解得矩陣 A 的特征值為 λ=4或﹣ 1． 44：坐標系與參數(shù)方程 23．在極坐標系中，已知點 A（ 2， ），點 B 在直線 l： ρcosθ+ρsinθ=0（ 0≤ θ≤ 2π）上，當線段 AB 最短時，求點 B 的極坐標． 【考點】 Q4：簡單曲線的極坐標方程． 【分析】 點 A（ 2， ）的直角坐標為（ 0， 2），直線 l 的直角坐標方程為 x+y=0． AB最短時，點 B 為直線 x﹣ y+2=0 與直線 l 的交點，求出交點，進而得出． 【解答】 解：以極點為原點，極軸為 x 軸正半軸，建立平面直角坐標系， 則點 A（ 2， ）的直角坐標為（ 0， 2），直線 l 的直角坐標方程為 x+y=0． AB 最短時，點 B 為直線 x﹣ y+2=0 與直線 l 的交點， 聯(lián)立 ，得 ，所以點 B 的直角坐標為（﹣ 1， 1）． 所以點 B 的極坐標為 ． 45：不等 式選講 24．已知 a， b， c 為正實數(shù)，且 a3+b3+c3=a2b2c2，求證： a+b+c≥ 3 ． 【考點】 R6：不等式的證明． 【分析】 利用基本不等式的性質進行證明． 【解答】 證明： ∵ a3+b3+c3=a2b2c2， a3+b3+c3≥ 3abc， ∴ a2b2c2≥ 3abc， ∴ abc≥ 3， ∴ a+b+c≥ 3 ≥ 3 ． 當且僅當 a=b=c= 時，取 “=”． 請考生在 2 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .[選修 44：坐標系與參數(shù)方程 ] 25．在平面直角坐標系 xOy 中，點 F（ 1， 0），直 線 x=﹣ 1 與動直線 y=n 的交點為 M，線段 MF 的中垂線與動直線 y=n 的交點為 P． （ Ⅰ ）求點 P 的軌跡 Г 的方程； （ Ⅱ ）過動點 M 作曲線 Г 的兩條切線，切點分別為 A， B，求證： ∠ AMB 的大小為定值． 【考點】 K8：拋物線的簡單性質． 【分析】 （ Ⅰ ）連接 PF，運用中垂線的性質可得 |MP|=|PF|，再由拋物線的定義可得點 P 的軌跡方程； （ Ⅱ ）求得 M（﹣ 1， n），過點 M 的切線斜率存在，設為 k，則切線方程為： y﹣ n=k（ x+1），聯(lián)立拋物線的方程，消去 y，運用相切的條件：判別式為 0，再由韋達定理，結合兩直線垂直的條件 ：斜率之積為﹣ 1，即可得證． 【解答】 解：（ Ⅰ ）據(jù)題意， MP⊥ 直線 x=﹣ 1， ∴ |MP|為點 P 到直線 x=﹣ 1 的距離， 連接 PF， ∵ P 為線段 MF 的中垂線與直線 y=n 的交點， ∴ |MP|=|PF|， ∴ P 點的軌跡是拋物線，焦點為 F（ 1， 0），準線為直線 x=﹣ 1， ∴ 曲線 Г 的方程為 y2=4x； （ Ⅱ ）證明：據(jù)題意， M（﹣ 1， n），過點 M 的切線斜率存在，設為 k， 則切線方程為： y﹣ n=k（ x+1）， 聯(lián)立拋物線方程 可得 ky2﹣ 4y+4k+4n=0， 由直線和拋物線相切， 可得 △ =16﹣ 4k（ 4k+4n） =0， 即 k2+kn﹣ 1=0，（ *） ∵△ =n2+4＞ 0， ∴ 方程（ *）存在兩個不等實根，設為 k1， k2， ∵ k1=kAM， k2=kBM， 由方程（ *）可知， kAM?kBM=k1?k2=﹣ 1， ∴ 切線 AM⊥ BM， ∴∠ AMB=90176。 2017 年江蘇省連云港市、徐州市、宿遷市高考數(shù)學三模試卷 一、填空題（每題 5 分，滿分 70 分，江答案填在答題紙上） 1．已知集合 A={﹣ 1， 1， 2}， B={0， 1， 2， 7}，則集合 A∪ B 中元素的個數(shù)為 ． 2．設 a， b∈ R， =a+bi（ i 為虛數(shù)單位），則 b 的值為 ． 3．在平面直角坐標系 xOy 中，雙曲線 ﹣ =1 的離心率是 ． 4．現(xiàn)有三張識字卡片，分別寫有 “中 ”、 “國 ”、 “夢 ”這三個字．將這三張卡片隨機排序，則能組成 “中國夢 ”的概率是 ． 5．如圖是一個算法的流程圖，則輸出的 k 的值為 ． 6．已知一組數(shù)據(jù) 3， 6， 9， 8， 4，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ． 7．已知實數(shù) x， y 滿足 ，則 的取值范圍是 ． 8．若函數(shù) f（ x） =2sin（ 2x+φ）（ 0＜ φ＜ ）的圖象過點（ 0， ），則函數(shù) f（ x）在 [0， π]上的單調減區(qū)間是 ． 9．在公比為 q且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 {an}中， Sn 為 {an}的前 n項和．若 a1= ，且 S5=S2+2，則 q 的值為 ． 10．如圖，在正三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，已知 AB=AA1=3，點 P 在棱 CC1上，則三棱錐 P﹣ ABA1的體積為 ． 11．如圖，已知正方 形 ABCD 的邊長為 2， BC 平行于 x 軸，頂點 A， B 和 C 分別在函數(shù) y1=3logax， y2=2logax 和 y3=logax（ a＞ 1）的圖象上，則實數(shù) a 的值為 ． 12．已知對于任意的 x∈ （﹣ ∞ ， 1） ∪ （ 5， +∞ ），都有 x2﹣ 2（ a﹣ 2） x+a＞ 0，則實數(shù) a 的取值范圍是 ． 13．在平面直角坐標系 xOy 中，圓 C：（ x+2） 2+（ y﹣ m） 2=3，若圓 C 存在以 G為中點的弦 AB，且 AB=2GO，則實數(shù) m的取值范圍是 ． 14．已知 △ ABC 三個內角 A， B， C 的對應邊分別為 α， b， c，且 C= ， c=2．當取得最 大值時， 的值為 ． 二、解答題（本大題共 6小題，共 90分 .解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .） 15．如圖，在 △ ABC 中，已知點 D 在邊 AB 上， AD=3DB， cosA= ， cos∠ ACB= ，BC=13． （ 1）求 cosB 的值； （ 2）求 CD 的長． 16．如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，點 E 在棱 PC 上（異于點 P， C），平面 ABE 與棱 PD 交于點 F． （ 1）求證： AB∥ EF； （ 2）若平面 PAD⊥ 平面 ABCD，求證： AE⊥ EF． 17．如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，已知橢 圓 C： + =1 的左、右頂點分別為 A， B，過右焦點 F 的直線 l 與橢圓 C 交于 P， Q 兩點（點 P 在 x 軸上方）． （ 1）若 QF=2FP，求直線 l 的方程； （ 2）設直線 AP， BQ 的斜率分別為 k1， k2，是否存在常數(shù) λ，使得 k1=λk2？若存在，求出 λ 的值；若不存在，請說明理由． 18．某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示．圓 O 的圓心與矩形 ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（ E 為上切點），與左右兩邊相交（ F， G 為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為 1m且 ≥ ，