【正文】 ． 42：矩陣與變換 22．已知矩陣 A= ，若 A = ，求矩陣 A 的特征值． 【考點(diǎn)】 OV：特征值與特征向量的計(jì)算． 【分析】 利用矩陣的乘法，求出 a， d，利用矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 0，求出矩陣 A 的特征值． 【解答】 解：因?yàn)?A = = ， 所以 ，解得 a=2， d=1． 所以矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為 f（ λ） = =（ λ﹣ 2）（ λ﹣ 1）﹣ 6=（ λ﹣ 4）（ λ+1）， 令 f（ λ） =0，解得矩陣 A 的特征值為 λ=4或﹣ 1． 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 23．在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A（ 2， ），點(diǎn) B 在直線 l： ρcosθ+ρsinθ=0（ 0≤ θ≤ 2π）上，當(dāng)線段 AB 最短時(shí)，求點(diǎn) B 的極坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】 Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 點(diǎn) A（ 2， ）的直角坐標(biāo)為（ 0， 2），直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x+y=0． AB最短時(shí)，點(diǎn) B 為直線 x﹣ y+2=0 與直線 l 的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)，進(jìn)而得出． 【解答】 解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn) A（ 2， ）的直角坐標(biāo)為（ 0， 2），直線 l 的直角坐標(biāo)方程為 x+y=0． AB 最短時(shí)，點(diǎn) B 為直線 x﹣ y+2=0 與直線 l 的交點(diǎn)， 聯(lián)立 ，得 ，所以點(diǎn) B 的直角坐標(biāo)為（﹣ 1， 1）． 所以點(diǎn) B 的極坐標(biāo)為 ． 45：不等 式選講 24．已知 a， b， c 為正實(shí)數(shù)，且 a3+b3+c3=a2b2c2，求證： a+b+c≥ 3 ． 【考點(diǎn)】 R6：不等式的證明． 【分析】 利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明． 【解答】 證明： ∵ a3+b3+c3=a2b2c2， a3+b3+c3≥ 3abc， ∴ a2b2c2≥ 3abc， ∴ abc≥ 3， ∴ a+b+c≥ 3 ≥ 3 ． 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c= 時(shí)，取 “=”． 請(qǐng)考生在 2 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .[選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 25．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) F（ 1， 0），直 線 x=﹣ 1 與動(dòng)直線 y=n 的交點(diǎn)為 M，線段 MF 的中垂線與動(dòng)直線 y=n 的交點(diǎn)為 P． （ Ⅰ ）求點(diǎn) P 的軌跡 Г 的方程； （ Ⅱ ）過(guò)動(dòng)點(diǎn) M 作曲線 Г 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A， B，求證： ∠ AMB 的大小為定值． 【考點(diǎn)】 K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】 （ Ⅰ ）連接 PF，運(yùn)用中垂線的性質(zhì)可得 |MP|=|PF|，再由拋物線的定義可得點(diǎn) P 的軌跡方程； （ Ⅱ ）求得 M（﹣ 1， n），過(guò)點(diǎn) M 的切線斜率存在，設(shè)為 k，則切線方程為： y﹣ n=k（ x+1），聯(lián)立拋物線的方程，消去 y，運(yùn)用相切的條件：判別式為 0，再由韋達(dá)定理，結(jié)合兩直線垂直的條件 ：斜率之積為﹣ 1，即可得證． 【解答】 解：（ Ⅰ ）據(jù)題意， MP⊥ 直線 x=﹣ 1， ∴ |MP|為點(diǎn) P 到直線 x=﹣ 1 的距離， 連接 PF， ∵ P 為線段 MF 的中垂線與直線 y=n 的交點(diǎn)， ∴ |MP|=|PF|， ∴ P 點(diǎn)的軌跡是拋物線，焦點(diǎn)為 F（ 1， 0），準(zhǔn)線為直線 x=﹣ 1， ∴ 曲線 Г 的方程為 y2=4x； （ Ⅱ ）證明：據(jù)題意， M（﹣ 1， n），過(guò)點(diǎn) M 的切線斜率存在，設(shè)為 k， 則切線方程為： y﹣ n=k（ x+1）， 聯(lián)立拋物線方程 可得 ky2﹣ 4y+4k+4n=0， 由直線和拋物線相切， 可得 △ =16﹣ 4k（ 4k+4n） =0， 即 k2+kn﹣ 1=0，（ *） ∵△ =n2+4＞ 0， ∴ 方程（ *）存在兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為 k1， k2， ∵ k1=kAM， k2=kBM， 由方程（ *）可知， kAM?kBM=k1?k2=﹣ 1， ∴ 切線 AM⊥ BM， ∴∠ AMB=90176。 2017 年江蘇省連云港市、徐州市、宿遷市高考數(shù)學(xué)三模試卷 一、填空題（每題 5 分，滿分 70 分，江答案填在答題紙上） 1．已知集合 A={﹣ 1， 1， 2}， B={0， 1， 2， 7}，則集合 A∪ B 中元素的個(gè)數(shù)為 ． 2．設(shè) a， b∈ R， =a+bi（ i 為虛數(shù)單位），則 b 的值為 ． 3．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，雙曲線 ﹣ =1 的離心率是 ． 4．現(xiàn)有三張識(shí)字卡片，分別寫(xiě)有 “中 ”、 “國(guó) ”、 “夢(mèng) ”這三個(gè)字．將這三張卡片隨機(jī)排序，則能組成 “中國(guó)夢(mèng) ”的概率是 ． 5．如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的 k 的值為 ． 6．已知一組數(shù)據(jù) 3， 6， 9， 8， 4，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ． 7．已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 的取值范圍是 ． 8．若函數(shù) f（ x） =2sin（ 2x+φ）（ 0＜ φ＜ ）的圖象過(guò)點(diǎn)（ 0， ），則函數(shù) f（ x）在 [0， π]上的單調(diào)減區(qū)間是 ． 9．在公比為 q且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 {an}中， Sn 為 {an}的前 n項(xiàng)和．若 a1= ，且 S5=S2+2，則 q 的值為 ． 10．如圖，在正三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，已知 AB=AA1=3，點(diǎn) P 在棱 CC1上，則三棱錐 P﹣ ABA1的體積為 ． 11．如圖，已知正方 形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， BC 平行于 x 軸，頂點(diǎn) A， B 和 C 分別在函數(shù) y1=3logax， y2=2logax 和 y3=logax（ a＞ 1）的圖象上，則實(shí)數(shù) a 的值為 ． 12．已知對(duì)于任意的 x∈ （﹣ ∞ ， 1） ∪ （ 5， +∞ ），都有 x2﹣ 2（ a﹣ 2） x+a＞ 0，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ． 13．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，圓 C：（ x+2） 2+（ y﹣ m） 2=3，若圓 C 存在以 G為中點(diǎn)的弦 AB，且 AB=2GO，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 ． 14．已知 △ ABC 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)應(yīng)邊分別為 α， b， c，且 C= ， c=2．當(dāng)取得最 大值時(shí)， 的值為 ． 二、解答題（本大題共 6小題，共 90分 .解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 .） 15．如圖，在 △ ABC 中，已知點(diǎn) D 在邊 AB 上， AD=3DB， cosA= ， cos∠ ACB= ，BC=13． （ 1）求 cosB 的值； （ 2）求 CD 的長(zhǎng)． 16．如圖，在四棱錐 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，點(diǎn) E 在棱 PC 上（異于點(diǎn) P， C），平面 ABE 與棱 PD 交于點(diǎn) F． （ 1）求證： AB∥ EF； （ 2）若平面 PAD⊥ 平面 ABCD，求證： AE⊥ EF． 17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢 圓 C： + =1 的左、右頂點(diǎn)分別為 A， B，過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線 l 與橢圓 C 交于 P， Q 兩點(diǎn)（點(diǎn) P 在 x 軸上方）． （ 1）若 QF=2FP，求直線 l 的方程； （ 2）設(shè)直線 AP， BQ 的斜率分別為 k1， k2，是否存在常數(shù) λ，使得 k1=λk2？若存在，求出 λ 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 18．某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓 O 的圓心與矩形 ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切（ E 為上切點(diǎn)），與左右兩邊相交（ F， G 為其中兩個(gè)交點(diǎn)），圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為 1m且 ≥ ，