【正文】 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 41頁 ■ 電子教案 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號分解為正交函數(shù) 傅里葉級數(shù) 周期信號的頻譜 非周期信號的頻譜 —— 傅里葉變換 傅里葉變換的性質(zhì) 周期信號的傅里葉變換 LTI系統(tǒng)的頻域分析 取樣定理 點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 42頁 ■ 電子教案 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 信號分解為正交函數(shù) 一、矢量正交與正交分解 時域分析 ，以 沖激函數(shù) 為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而 yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以 正弦信號 和 虛指數(shù)信號 ejωt為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列 不同頻率 的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是 頻率 。故稱為 頻域分析 。 矢量 Vx = ( vx1, vx2, vx3)與 Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義： 其內(nèi)積為 0。即 031?? ??iyixiTyx vvVV 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 43頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 由兩兩正交的矢量組成的矢量集合 稱為 正交矢量集 如三維空間中，以矢量 vx=（ 2， 0， 0）、 vy=（ 0， 2， 0）、 vz=（ 0， 0， 2) 所組成的集合就是一個 正交矢量集 。 例如對于一個三維空間的矢量 A =(2， 5， 8)，可以用一個三維正交矢量集 { vx， vy， vz}分量的線性組合表示。即 A= vx+ vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到 信號 空間，在信號空間找到若干個 相互正交的信號 作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 44頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 二、信號正交與正交函數(shù)集 1. 定義： 定義在 (t1， t2)區(qū)間的兩個函數(shù) ? 1(t)和 ? 2(t),若滿足 ? ?21 0d)()( *21tt ttt ??(兩函數(shù)的內(nèi)積為 0) 則稱 ? 1(t)和 ? 2(t) 在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi) 正交 。 2. 正交函數(shù)集： 若 n個函數(shù) ? 1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi)滿足 ? ??? ?? ??21 ,0,0d)()( *ttiji jiKjittt ??則稱此函數(shù)集為在區(qū)間 (t1， t2)的 正交函數(shù)集 。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 45頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 3. 完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集 {?1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)}之外，不存在函數(shù) φ(t)(≠0）滿足 則稱此函數(shù)集為 完備正交函數(shù)集 。 例如 ： 三角函數(shù)集 {1， cos(nΩt)， sin(nΩt)， n=1,2,…} 和虛指數(shù)函數(shù)集 {ejnΩt， n=0，177。 1，177。 2， …} 是兩組典型的在區(qū)間 (t0， t0+T)(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集。 ? ?21 0d)()(tt i ttt ??( i =1， 2， … ， n) 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 46頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 三、信號的正交分解 設(shè)有 n個函數(shù) ? 1(t)， ? 2(t)， … ， ? n(t)在區(qū)間 (t1， t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù) f(t)用這 n個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)≈C1?1+ C2?2+…+ C n?n 如何選擇各系數(shù) Cj使 f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間 (t1， t2)內(nèi)為最小。 通常使誤差的方均值 (稱為 均方誤差 )最小。均方誤差為 ttCtftt ttnjjj d])()([1 2121122 ? ????? ?? 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 47頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 為使上式最小 0d)]()([21 122? ????? ???? ttnjjjiittCtfCC ??展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為 0，寫為 ? ???? ? 21 0d)]()()(2[ 22tt iiiiittCttfCC ??即 ?? ??? 2121 0d)(2d)()(2 2tt iitt i ttCtttf ??所以系數(shù) ?????212121 d)()(1d)(d)()(2tt iitt itt ii tttfKtttttfC ??? 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 48頁 ■ 電子教案 信號分解為正交函數(shù) 代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材） 0]d)([1122122 21???? ???njjjttKCttftt?在用正交函數(shù)去近似 f(t)時，所取得項數(shù)越多，即 n越大，則均方誤差越小。當(dāng) n→∞ 時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有 ?????12221d)(jjjttKCttf上式稱為 (Parseval)巴塞瓦爾公式 ，表明：在區(qū)間 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于 f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。 ????1)()(jjj tCtf ?函數(shù) f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 49頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 傅里葉級數(shù) 一、傅里葉級數(shù)的三角形式 設(shè)周期信號 f(t)，其周期為 T，角頻率 ?=2?/T，當(dāng)滿足狄里赫利 (Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數(shù) —— 稱為 f(t)的 傅里葉級數(shù) ?? ?????????110 )sin()cos(2)( n nn n tnbtnaatf系數(shù) an , bn稱為 傅里葉系數(shù) ?? ?? 22d)cos ()(2TTn ttntfTa ???22d)sin ()(2TTn ttntfTb可見， an 是 n的偶函數(shù)， bn是 n的奇函數(shù)。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 410頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) ???????10 )cos(2)( n nn tnAAtf ?式中， A0 = a0 22nnn baA ?? nnn abarctan???上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中， A0/2為 直流分量 ； A1cos(?t+?1)稱為 基波或一次諧波 ，它的角頻率與原周期信號相同； A2cos(2?t+?2)稱為 二次諧波 ，它的頻率是基波的 2倍； 一般而言， Ancos(n?t+?n)稱為 n次諧波 。 可見 An是 n的偶函數(shù)， ?n是 n的奇函數(shù)。 an = Ancos?n， bn = –Ansin ?n， n=1,2,… 將上式同頻率項合并，可寫為 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 411頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 二、波形的對稱性與諧波特性 1 .f(t)為偶函數(shù) ——對稱縱坐標(biāo) ?? ?? 22d)cos ()(2TTn ttntfTa ???22d)sin ()(2TTn ttntfTbbn =0，展開為余弦級數(shù)。 2 .f(t)為奇函數(shù) ——對稱于原點(diǎn) an =0，展開為正弦級數(shù)。 實(shí)際上，任意函數(shù) f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于 f(t) = fod(t) + fev(t) = fod(t) + fev(t) 所以 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 412頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 2)()()( tftftfod???2)()()( tftftfve??3 .f(t)為奇諧函數(shù) ——f(t) = –f(t177。 T/2) f ( t )t0 TT/ 2此時 其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=…=b 2=b4=…=0 三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 三角形式 的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用 指數(shù)形式 的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪? cosx=(ejx + e–jx)/2 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 413頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) ???????? ???1)()(0 ]e[e22 ntnjtnjn nnAA ?? ?? ???????? ???110 ee21ee212 ntjnjnntjnjnnn AAA ?????????10 )cos(2)( n nn tnAAtf ?上式中第三項的 n用 –n代換， A– n=An， ?– n= – ?n， 則上式寫為 ?? ???????? ??110 ee21ee212 ntjnjnntjnjnnn AAA ??令 A0=A0ej?0ej0?t ， ?0=0 ???????ntjnjnnAtf ee21)( ?所以 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 414頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 令復(fù)數(shù) nnjn FFAnn ?? ?? ee21稱其為 復(fù)傅里葉系數(shù) ，簡稱傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121 nnnnnnjnn jbajAAeAF n ????? ??? ??? ???? ????? 222222de)(1d)sin ()(1d)cos()(1TTtjnTTTT ttfTttntfTjttntfT???????ntjnnFtf e)( n = 0, 177。 1, 177。 2， … ? ??? 22de)(1TTtjnn ttfT表明：任意周期信號 f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。 F0 = A0/2為直流分量。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 415頁 ■ 電子教案 傅里葉級數(shù) 四、周期信號的功率 ——Parseval等式 ??? ?????????nnnnT FAAdttfT2122002 ||21)2()(1直流和 n次諧波分量在 1?電阻上消耗的平均功率之和。 n≥0時， |Fn| = An/2。 周期信號一般是功率信號，其平均功率為 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 416頁 ■ 電子教案 周期信號的頻譜 周期信號的頻譜及特點(diǎn) 一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種 特征量 隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為 信號的頻譜 ，所畫出的圖形稱為信號的 頻譜圖 。 周期信號的頻譜 是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將 An~ω和 ?n~ω的關(guān)系分別畫在以 ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為 振幅頻譜圖 和 相位頻譜圖 。因為 n≥0，所以稱這種頻譜為 單邊譜 。