為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)(已修改)
2025-10-09 19:16 本頁面
【正文】 為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室 章建躍在人教版《普通高中實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4必修（A版）》（簡稱“人教A版”）中，三角函數(shù)采用了如下定義（簡稱“單位圓定義法”）：“如圖1，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；（3）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）．可以看出，當(dāng)α=(k∈Z)時(shí)，α的終邊在y軸上，這時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x等于0，所以無意義．除此之外，對(duì)于確定的角α，上述三個(gè)值都是唯一確定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)．”1．部分教師的疑惑和意見由于種種原因，實(shí)驗(yàn)區(qū)有的教師對(duì)上述定義不理解，認(rèn)為該定義不如以往教材采用的定義，即在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r，比值，分別定義為角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)（簡稱“終邊定義法”）．其理由主要有以下幾點(diǎn)：第一，“單位圓定義法”中，“交點(diǎn)是特殊的，缺乏一般性，不符合數(shù)學(xué)定義的要求”；“終邊定義法”中，“所取得點(diǎn)是任意的，具有一般性，符合數(shù)學(xué)定義的要求”．有的老師說，“單位圓上的點(diǎn)畢竟是特殊點(diǎn)，用它定義三角函數(shù)有失一般性”．第二，“單位圓定義法”不利于將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)；“終邊定義法”有利于這種推廣．有的老師說，“用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正弦、余弦函數(shù)帶來了不少便利，其根本原因是它化簡了三角函數(shù)的比值．而用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義正切函數(shù)，由于它未能化簡三角函數(shù)的比值，所以它就沒有什么特別的意義．”第三，“單位圓定義法”不利于解題．有的老師說，在解“已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是（3a,4a）,求角α的三角函數(shù)值”時(shí)，用“終邊定義法”非常方便，而用“單位圓定義法”很不方便．為了解答老師們的疑問，我們首先從回顧三角函數(shù)的發(fā)展歷史開始．2．對(duì)三角函數(shù)發(fā)展歷史的簡單回顧回顧三角學(xué)發(fā)展史，可以發(fā)現(xiàn)它的起源、發(fā)展與天文學(xué)密不可分，它是一種對(duì)天文觀察結(jié)果進(jìn)行推算的方法．1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角，這是航海、立法推算以及天文觀測等人類實(shí)踐活動(dòng)的需要，同時(shí)也是宇宙的奧秘對(duì)人類的巨大吸引力所至，這種“量天的學(xué)問”確實(shí)太誘人了．后來，由于間接測量、測繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角．三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來的標(biāo)志是德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）于1464年出版《論各種三角形》，這部著作首次對(duì)三角學(xué)做出了完整、獨(dú)立的闡述．其中采用印度人的正弦，即圓弧的半弦，明確使用了正弦函數(shù)，討論了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長的代數(shù)解法，給出了
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