【正文】 不完全信息靜態(tài)博弈 STATIC GAME OF INCOMPLETE INFORMATION ——摘自 《 莊子 》 子非魚(yú) , 安知魚(yú)之樂(lè)？ 子非我 , 安知我不知魚(yú)之樂(lè)？ 不完全信息 ?在前面的分析中，我們假定支付函數(shù)是所有參與人的共同知識(shí) (Common Knowledge) ?如果在博弈中至少有一個(gè)參與人不知道其他參與人的支付函數(shù)，則稱該博弈為不完全信息博弈。 不完全信息 ?一些不完全信息的例子 ?與一個(gè)陌生人打交道 ?購(gòu)買一幅藝術(shù)品 ?一個(gè)企業(yè)想進(jìn)入某個(gè)市場(chǎng) ?參與投標(biāo)的各個(gè)廠商 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 ?一個(gè)企業(yè)決定是否進(jìn)入一個(gè)新的產(chǎn)業(yè)，但不知道在為企業(yè)的成本函數(shù)，也不知道一旦進(jìn)入，在位者決定默許還是斗爭(zhēng)。 ?假定在位者有兩種可能成本函數(shù)：高成本和低成本。對(duì)應(yīng)兩種不同成本的不同策略組合的支付矩陣如表 31所示。 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 表 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 如果在位者是高成本 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 進(jìn)入者最優(yōu)行為是進(jìn)入，在位者最優(yōu)行為是默許。 表 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 如果在位者是低成本 表 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 進(jìn)入者最優(yōu)行為是不進(jìn)入，在位者最優(yōu)行為是斗爭(zhēng)（一旦低成本者進(jìn)入）。 表 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 在位者 高成本情況 低成本情況 默許 斗爭(zhēng) 默許 斗爭(zhēng) 進(jìn)入者 進(jìn)入 不進(jìn)入 40. 50 10, 0 30, 80 10, 100 0, 300 0, 300 0, 400 0, 400 但進(jìn)入者不知道在位者究竟是高成本還是低成本，因此，進(jìn)入者的最優(yōu)選擇依賴于他對(duì)在位者成本的信念。 表 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈：不完全信息 一個(gè)簡(jiǎn)例：市場(chǎng)進(jìn)入博弈 ?假定進(jìn)入者認(rèn)為在位者是高成本的概率是 p,則是低成本的概率是 (1p)。 ?進(jìn)入者進(jìn)入的期望支付是 p(40)+(1p)(10) ?進(jìn)入者不進(jìn)入的期望支付是 0 ?比較上面兩個(gè)表達(dá)式，可知進(jìn)入者的最優(yōu)選擇為 ?如果 p≥1/5，進(jìn)入；如果 p1/5，不進(jìn)入。 ?在前面市場(chǎng)進(jìn)入博弈中，進(jìn)入者似乎是在與兩個(gè)不同的在位者博弈，一個(gè)是高成本的在位者，一個(gè)是低成本的在位者。 ?一般地，如果在位者有 T種可能的不同成本函數(shù)，進(jìn)入者似乎是在與 T個(gè)不同在位者博弈。 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?如果一個(gè)參與人并不知道他在與誰(shuí)進(jìn)行博弈，博弈的規(guī)則無(wú)法進(jìn)行定義。 ?海薩尼通過(guò)引入虛擬的參與人 —— ”自然” (Nature)，將不完全信息博弈轉(zhuǎn)換為完全但不完美信息的博弈，從而可用完全信息博弈論進(jìn)行處理，這就是著名的“海薩尼轉(zhuǎn)換” (Harsanyi Transformation) 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?圖 ，經(jīng)過(guò)海薩尼轉(zhuǎn)換后，得到的博弈樹(shù)。 0 高 低 [P] [1P] 進(jìn)入者 不進(jìn)入 進(jìn)入 不進(jìn)入 進(jìn)入 合作 斗爭(zhēng) 合作 斗爭(zhēng) (0, 300) (0, 400) (40, 50) (10, 0) (30, 80) (10, 100) 圖 31 市場(chǎng)進(jìn)入博弈 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?不完全信息靜態(tài)博弈中，參與人 i的行動(dòng)空間 Ai可能依賴于他的類型 θi,或者說(shuō)行動(dòng)空間是類型依存的 (typecontingent)。 ?比如，一個(gè)企業(yè)選擇什么價(jià)格依賴于其實(shí)力；一個(gè)人能干什么事情依賴于其能力，等等。 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?因此，行動(dòng)空間可以表示為 Ai(θi)，一個(gè)特定行動(dòng)可表示為集合 Ai(θi)中的一個(gè)元素 。 ?類似的，參與人 i的支付函數(shù)也是類型依存的（比如不同成本函數(shù)的企業(yè)利潤(rùn)各不相同。），用 ui(ai, ai。 θi)表示參與人 i的效用函數(shù)。于是可以用上述參數(shù)表示一個(gè)靜態(tài)貝葉斯博弈。 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?更為一般地，自然在博弈的開(kāi)始選擇還可包括參與人的戰(zhàn)略空間、信息集、支付函數(shù)等。 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?我們將一個(gè)參與人所擁有的所有個(gè)人信息稱為他的類型 (Types) ?不完全信息意味著，至少有一個(gè)參與人有多個(gè)類型（否則就成為完全信息博弈）。 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?一般地，用 θi表示參與人 i的一個(gè)特定類型， Θi表示參與人 i的所有類型的集合，即 θi∈ Θi ?假定，只有參與人 i知道自己的類型 θi 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?根據(jù)海薩尼公理 (Harsanyi Doctrine)，假定各參與人類型的分布函數(shù) P(θ1, …, θn )是共同知識(shí)。 ?以市場(chǎng)進(jìn)入博弈為例，在位者高成本的概率 p是共同知識(shí)意味著：進(jìn)入者知道在位者是高成本的概率為 p,在位者知道進(jìn)入者認(rèn)為在位者是高成本的概率是p… 海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?用 θi=(θ1,…, θi1, θi+1, …, θn )表示除了 i之外的所有參與人的類型組合。 θ=（ θi, θi ）表示所有參與人的類型組合。 ?根據(jù)條件概率規(guī)則 ????????? ??iiiiiiiiiiii ppppp),(),()(),()|(?????????海薩尼 (Harsanyi)轉(zhuǎn)換 ?N人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述包括：參與人的類型空間 Θi，條件概率 p1,…, pn,類型依存戰(zhàn)略空間為 Ai(θi)， 類型依存支付函數(shù) ui(ai,ai。 θi)， i=1,…, n。參與人 i知道自己的類型 θi（屬于 Θi），條件概率pi=pi(θi| θi)描述給定自己屬于 θi的情況下，參與人 i關(guān)于其他參與人類型的一個(gè)估計(jì)?？梢杂?G={Ai。 θi。pi。 ui。 i=1,…, n}表示這個(gè)博弈。 靜態(tài)貝葉斯博弈定義 ?給定參與人 i只知道自己的類型 θi,而不知道其他參與人的類型 θi，參與人 i將選擇ai(θi)以最大化自己的期望效用。參與人 i的期望效用函數(shù)定義為 ???????iiiiiiiiiiii aaupv??????? ),)。(),(()|(靜態(tài)貝葉斯博弈定義 ?參與人的類型空間 Θi，條件概率 p1,…, pn,類型依存戰(zhàn)略空間為 Ai(θi)， 類型依存支付函數(shù) ui(ai,ai。 θi)， i=1,…, n。 ?參與人 i知道自己的類型 θi（屬于 Θi），條件概率 pi=pi(θi| θi)描述給定自己屬于 θi的情況下，參與人 i關(guān)于其他參與人類型的一個(gè)估計(jì)。可以用 G={Ai。 θi。pi。 ui。 i=1,…, n}表示這個(gè)博弈。 N人靜態(tài)貝葉斯博弈 戰(zhàn)略式表述 N人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述 ?給定參與人 i只知道自己的類型 θi,而不知道其他參與人的類型 θi，參與人 i將選擇ai(θi)以最大化自己的期望效用。參與人 i的期望效用函數(shù)定義為 ???????iiiiiiiiiiii aaupv??????? ),)。(),(()|(貝葉斯納什均衡 (Bayesian