廣義積分概念引入的幾何背景分析(已修改)
2025-08-29 11:40 本頁(yè)面
【正文】 廣義積分概念引入的幾何背景分析宋榕榮[摘要] 我們?cè)谘芯慷ǚe分時(shí)都有直觀的幾何意義，定積分的被積函數(shù)的區(qū)間為有限區(qū)間，函數(shù)為該區(qū)間上的有界函數(shù)。當(dāng)我們?nèi)サ暨@兩個(gè)限制時(shí)，就得到廣義積分，我們就用它們之間的這種聯(lián)系引入廣義積分的幾何背景。[關(guān)鍵字] 定積分 廣義積分 幾何背景 一、廣義積分與定積分之間的區(qū)別和聯(lián)系（1）形式上：定積分的區(qū)間是有限區(qū)間，即上下限都是有限實(shí)數(shù)，且定積分的被積函數(shù)是有界函數(shù)，而廣義積分的被積函數(shù)的區(qū)間是無(wú)窮的或函數(shù)無(wú)界。（2）內(nèi)容上：定積分的被積函數(shù)是有界連續(xù)函數(shù)。無(wú)窮區(qū)間[ ）的廣義積分 ，若,a??()lim()baafxdfxd????????存在，則廣義積分 收斂，否則發(fā)散。類似的有在定義在lim()bafxd???? ()afxd?（ ]上的廣義積分的收斂發(fā)散性。同時(shí)還有定義在（ ）上的廣義積,? ,?分的收斂性。二、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分的幾何背景無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分也就是被積函數(shù)的定義域無(wú)上限或無(wú)下限，這類的廣義積分在形式上可分為三種，我們用三個(gè)例子來(lái)加以說(shuō)明：例 1 求曲線 f(x)= 的下方、 =1 的右方、 軸上方的平面區(qū)域面積。21xxx xyO 1 x = a分析：所求面積的區(qū)域如圖所示。由于區(qū)域是不封閉的，故不可用定積分直接求其面積。但所給區(qū)域是確定的（即坐標(biāo)面上任何一點(diǎn)在該區(qū)域的內(nèi)部、外部或邊界上是明確的）。在 x=1 的右側(cè)做一條垂直于 x 軸的直線 x=a(a1),則曲線 f(x)= 、 = =a、x 軸圍成一個(gè)曲邊梯形（陰影部分所示），其21x面積用定積分表示為 。要求其面積的不封閉區(qū)域可想象成右邊界在無(wú)1()afd?窮遠(yuǎn)處的曲邊梯形。該曲邊梯形課由陰影部分曲邊梯形的右邊界 x=a 沿 x 軸正方向無(wú)窮遠(yuǎn)處平移得到，故其面積可從形式上類比 到 ，而1()afxd?1()fd???其實(shí)質(zhì)為 （ 對(duì)應(yīng)于陰影部分曲邊梯形的右邊界 x=a 向右1lim()afxd????b??平移至無(wú)窮遠(yuǎn)處）。故所求面積為 = 。1()fxd?1lim()afx????解：設(shè)曲線 f(x)= 的下方、 =1 的右方、 軸上方的平面區(qū)域的面積2x為 A，則 A= 1()afd?= 1lim()fx????? = 21lia?d = ( )lima???1xa = (1 )lia = 1所以曲線 f(x)= 的下方、x=1 的右方、x 軸上方的平面區(qū)域的面積為 1。 2x例 2 求曲線 f(x)= 的下方、x=1 的左方、x 軸上方的平面區(qū)域的面積。21x xy01x = a分析：所求面積的區(qū)域如圖所示。由于區(qū)域是不封閉的，故不可用定積分直接求其面積。但
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1