高二數(shù)學(xué)曲線方程(已修改)
2025-08-28 02:33 本頁(yè)面
【正文】 一般地，在直角直角坐標(biāo)系中，如果某曲線 C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 f(x， y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： （ 1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程 的解； （ 2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) . 曲線 C上的點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成集合為 A 二元方程 f(x， y)=0的解集為 B BA ?AB ?那么這個(gè)方程叫做曲線的方程； 這條曲線叫做方程的曲線（圖形）。 BA ?[例 1]： 設(shè) A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ 1， 1） 、 （ 3， 7） ， 求線段 AB的垂直平分線的方程 . 整理得 ， x+2y7=0 ① 由此可知，垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解 解： （ 1） 設(shè) M（ x,y） 是線段 AB的垂直平分線上任意一點(diǎn) 則｜ MA｜ =｜ MB｜ 2222 )7()3()1()1( ??????? yxyx設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo) 化簡(jiǎn)整理 坐標(biāo)代換 列出幾何關(guān)系 即 即 x1+2y17=0, x1=72y1 點(diǎn) M1到 A、 B的距離分別是 ｜ M1A｜ = （ 2） 設(shè)點(diǎn) M1的坐標(biāo) (x1,y1)是方程 ① 的解 2121 )1()1( ??? yx.)136(5)7()24()7()3(。)136(5)1()28(1212121212111212121??????????????????yyyyyxBMyyyy證明結(jié)論 ∴ ｜ M1A｜ =｜ M1B｜ ,即點(diǎn) M1在線段 AB的垂直平分線上 . 由（ 1）（ 2）可知，方程①是線段 AB的垂直平分線的方程 . 點(diǎn) M的軌跡就是與坐標(biāo)軸的 距離的積等于常數(shù) k的點(diǎn)的集合： P={M｜｜ MR｜ ｜ MQ｜ =k},(其中 Q、 R分別是點(diǎn) M到 x軸 、 y軸的垂線的垂足 ） 因?yàn)辄c(diǎn) M到 x軸 、 y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值 ， ∴ ｜ x｜ ｜ y｜ =k, 即 xy=177。 k① ［ 例 2］ 點(diǎn) M與互相垂直的直線的距離的積是常數(shù) k(k＞ 0)， 求點(diǎn) M的軌跡 . 解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸 ， 建立直角坐標(biāo)系 . 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (x,y)， 化簡(jiǎn)整理 坐標(biāo)代換 列出幾何關(guān)系 (1)由求方程的過(guò)程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解； 由（ 1）、（ 2）可知，方程①是所求軌跡的方程 . （ 2） 設(shè)點(diǎn) M1的坐標(biāo) (x1,y1)是方程 ① 的解 ， 那么 x1y1=177。 k, 即｜ x1｜ ｜ y1｜ =k. 而｜ x1｜ 、 ｜ y1｜正是點(diǎn) M1到縱軸 、 橫軸的距離 ， 因此點(diǎn) M1到這兩條直線的距離的積是常數(shù) k， 點(diǎn) M1是曲線上的點(diǎn) . 證明結(jié)論 1） 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 ， 用有序?qū)崝?shù)對(duì)例如 （ x,y）表示曲線上任意一點(diǎn) M的坐標(biāo)； 2 ） 寫出適合條件 P的點(diǎn) M的集合： P={M｜P(M)}。 3） 用坐標(biāo)表示條件 P（ M） ， 列出方程 f(x,y)=0。 4） 化方程 f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式； 5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) . 小結(jié) :求曲線 （ 圖形 ） 的方程 ， 一般有下面幾個(gè)步驟： （二）列式換標(biāo) （一）建系設(shè)標(biāo) （四）特殊說(shuō)明 （三）化簡(jiǎn)整理 [例３ ] 定長(zhǎng)為２ａ的線段，其兩端點(diǎn)分別在ｘ軸和ｙ軸上滑動(dòng)，求該線段中點(diǎn)所形成的曲線方程． （二）列式換標(biāo) （一）建系設(shè)標(biāo) （三）化簡(jiǎn)整理 （四）特殊說(shuō)明 【 練習(xí) 】 ： 已知線段 AB的長(zhǎng)為 10，動(dòng)點(diǎn) P到 A、B的距離的平方和為 122，求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程。 }.2|||| { ??? MBMAMP2)2( 22 ???? yyx281 xy ?281 xy ?[例 4] 已知一條曲線在 x軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn) A（ 0， 2）的距離減去它到 x軸的距離的差都是 2，求這條曲線的方程 . 解：設(shè)點(diǎn) M（ x,y）是曲線上任意一點(diǎn)， MB⊥ x軸，垂足是 B（圖 7— 31），那么點(diǎn) M屬于集合 由距離公式，點(diǎn) M適合的條件可表示為： 將①式移項(xiàng)后再兩邊平方，得 x2
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