【正文】 20220828 P75/75頁二到四章答案21 試建立題21圖所示各系統(tǒng)的微分方程 [其中外力，位移和電壓為輸入量；位移和電壓為輸出量；（彈性系數(shù)），（阻尼系數(shù)），（電阻），（電容）和（質(zhì)量）均為常數(shù)]。解：21(a) 取質(zhì)量m為受力對象，如圖，取向下為力和位移的正方向。作用在質(zhì)量塊m上的力有外力f(t)，重力mg，這兩個力向下，為正。有彈簧恢復(fù)力和阻尼力，這兩個力向上，為負(fù)。其中，為、物體處于靜平衡位置時彈簧的預(yù)伸長量。m根據(jù)牛頓第二定理，有其中：代入上式得整理成標(biāo)準(zhǔn)式：或也可寫成：它是一個二階線性定常微分方程。21(b) 如圖，取A點為輔助質(zhì)點，設(shè)該點位移為，方向如圖。再取B點也為輔助質(zhì)點，則該點位移即為輸出量，方向如圖ABA點力平衡方程： ①B點力平衡方程： ②由①和②: 得：二邊微分： ③將③代入②：整理成標(biāo)準(zhǔn)式：或也可寫成：它是一個一階線性定常微分方程。21(c) 如圖，由電路理論的基爾霍夫定律：，其中，是上的壓降。即得： ①又因為： ②輸出為：將①和②代入上式： ③整理成標(biāo)準(zhǔn)式：或也可寫成：21(d) 把電路圖畫成如下形式，或許看得更清楚一些。由圖中可見：兩邊微分并整理： ①①式兩邊再次微分以備后用： ②圖中上面兩條并聯(lián)支路兩端的電壓應(yīng)相等：整理得： ③將①式和②式代入③式： ④④式兩邊微分以備后用： ⑤再觀察圖中，添加輔助電壓，有： ⑥且有：此二式均代入⑥式：兩邊微分并整理： ⑦將①、④、⑤三式代入⑦式，并經(jīng)整理，有：或也可寫成：解法二：本題以上的求解過程較為繁復(fù)。但采用電工學(xué)中的等效阻抗法求解要方便得多，見下。由圖可寫出如下方程： ⑴ ⑵ ⑶聯(lián)立式⑴、⑵、⑶，消去中間變量，可得：微分方程為：22 試證明題22圖中所示的力學(xué)系統(tǒng)(a)和電路系統(tǒng)(b)是相似系統(tǒng)（即有相同形式的數(shù)學(xué)模型）。解：22(a) 見題圖，取輔助點A、B兩點。A點力平衡方程： ①B點力平衡方程： ②①式兩邊拉氏變換： ③②式兩邊拉氏變換：整理上式： ④④式代入③式，并整理得傳遞函數(shù)：或?qū)懗桑?⑤22(b) 可以采用等效阻抗法。見題圖，紅色虛線框內(nèi)分別是兩個復(fù)數(shù)阻抗：為并聯(lián)：為串聯(lián)：而輸出輸入關(guān)系為：兩邊拉氏變換：整理得傳遞函數(shù)： ⑥比較兩個傳遞函數(shù)⑤式和⑥式，二者在結(jié)構(gòu)上完全相同；二者在參數(shù)上也呈對應(yīng)關(guān)系：即：所以兩個系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。23 求下列函數(shù)的拉氏變換。(a)解：查拉氏變換表中序號3和4，然后迭加即可：(b)解：查拉氏變換表中序號8和序號9，然后迭加即可：(c)解：查拉氏變換表中序號5和6，然后迭加即可：(d)解：利用拉氏變換表中序號7：(e)解：可以利用延遲定理求解。第一步，根據(jù)拉氏變換表中序號7公式，即：當(dāng) ①時，有又根據(jù)教材P22延遲定理公式（210），當(dāng)時，即當(dāng) ②時，其拉氏變換變?yōu)?③用代入表達式②： ④根據(jù)③，其拉氏變換變?yōu)?⑤第二步，本題化為④式形式，即：根據(jù)⑤，其拉氏變換變?yōu)椋?4 試求題24圖所示各信號的象函數(shù)。解：24(a)其中，各自的象函數(shù)為：對于：對于，為延遲時間的斜坡函數(shù)，可應(yīng)用延遲定理。已知單位斜坡函數(shù)的象函數(shù)為，由延遲定理，其延遲時間的象函數(shù)為。得：解：24(b)本小題的解題思路與(a)相同，可應(yīng)用延遲定理。（1）由圖可知，由4個分段階躍函數(shù)組成，即：后3個階躍函數(shù)分別延遲了時間，只要在各自對應(yīng)的象函數(shù)乘以延遲因子即可，即：解：24(c) 解題思路與(a),(b)相同，仍是應(yīng)用延遲定理。T25 求下列各拉氏變換式的原函數(shù)。(a)解：拉氏反變換(查表)：(b)解：令，得故由待定系數(shù)法求得即拉氏反變換(查表)：(c)解：令，得故由待定系數(shù)法求得即拉氏反變換(查表)：(d)解：令，則由于，根據(jù)延遲定理，有所以，(e)解：原式 ＝ 所以，26 已知在零初始條件下，系統(tǒng)在單位階躍作用時，輸出響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：單位階躍輸入時，有，依題意則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：27 已知系統(tǒng)的微分方程為，試求解系統(tǒng)在零初始條件下，輸入作用下的輸出。解：對微分方程兩邊進行拉氏變換：即：單位階躍輸入時，有，代入上式：對上式進行拉氏反變換，即得輸出：28 試求解微分方程，設(shè)初始條件為零。解：對微分方程兩邊進行拉氏變換：對上式進行拉氏反變換，即得輸出：29 求題29圖所示各有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。題29圖解：29(a) 根據(jù)運算放大器“虛地”概念(參電路原理知識)，可寫出29(b) 根據(jù)復(fù)數(shù)阻抗概念，參(a)：其中，（串聯(lián)），（并聯(lián)）故29(c) 根據(jù)復(fù)數(shù)阻抗概念，參(a)：其中，（并聯(lián)），故210 飛機俯仰角控制系統(tǒng)方塊圖如題210圖所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)。題210圖解：經(jīng)結(jié)構(gòu)圖等效變換可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。為方便起見，在以下的推導(dǎo)中，先用符號代替具體的函數(shù)，推導(dǎo)完成后再代回。K2=G3= K sK1=K3=第一步，簡化一個小閉環(huán)：G3= K sK1=K3=第二步，再簡化一個小閉環(huán)：G3= K sK1=第三步，簡化大閉環(huán)：最后，將各個函數(shù)和系數(shù)代回，得211 已知系統(tǒng)方程組如下，試?yán)L制系統(tǒng)方塊圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：系統(tǒng)方塊圖為：結(jié)構(gòu)圖等效變換：從上圖可以清晰地看出變換效果，閉環(huán)系統(tǒng)有三個反饋環(huán)，且不存在交叉關(guān)系。因此，從內(nèi)到外逐個消除反饋環(huán)后即得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：212 已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題212圖所示，求輸入時系統(tǒng)的輸出。題212圖解：設(shè)則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：當(dāng)時（即幅值為3的階躍函數(shù)），有：對上式進行拉氏反變換，即得輸出：213 試用方塊圖等效變換化簡求題213圖所示各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：213(a)將前饋通道與反饋通道分開；并注意反饋符號：或者閉環(huán)傳遞函數(shù)：[另一種解法]雖未采用方塊圖等效變換化簡方法，但卻有新意。G1G2H兩邊除以：解：213(b)選擇交換點時，一要預(yù)判可行性；二要看是否對全局有利：閉環(huán)傳遞函數(shù)：解：213(c)二個大反饋構(gòu)成并聯(lián)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：解：213(d)為合并三個反饋環(huán)創(chuàng)造條件：三個反饋環(huán)為并聯(lián)關(guān)系：閉環(huán)傳遞函數(shù)：214 試用梅遜公式求213題中各方塊圖對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。214(a) 解圖中有2條前向通路，1個回路214(b) 解圖中有1條前向通路，3個回路214(c) 解圖中有2條前向通路，5個回路214(d) 解圖中有2條前向通路，3個回路215 試用梅遜公式求題215圖中各系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 題215圖215(a) 解圖中有1條前向通路，4個回路則有 215(b) 解圖中有2條前向通路，3個回路，有1對互不接觸回路則有 215(c) 解圖中有4條前向通路，5個回路則有 215(d) 解圖中有2條前向通路，5個回路則有 215(e) 解圖中有2條前向通路，3個回路，有1對互不接觸回路則有 216 已知系統(tǒng)的方塊圖如題216圖所示，圖中為輸入信號，為干擾信號，試求傳遞函數(shù)。題216圖