高數(shù)1-3-1極限的四則運算法則(已修改)
2025-08-17 18:40 本頁面
【正文】 高 等 數(shù) 學 Higher mathematics 第一章 第三節(jié) 極限運算 一、 極限的四則運算法則 三、 兩個重要極限 四、無窮小的比較 二、 復合函數(shù)的極限運算法則 高 等 數(shù) 學 Higher mathematics 一、 極限的四則運算法則 ,)(lim,)(lim BxgAxf ??則有 證 : 因 ,)(lim,)(lim BxgAxf ??則有 ?? ???? BxgAxf )(,)((其中 ??, 為無窮小 ) 于是 )()()()( ?? ????? BAxgxf)()( ?? ???? BA由無窮小之和仍無窮小，可知 ??? 也是無窮小 , 再利用極限與無窮小 的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 . 定理 1 . 若 高 等 數(shù) 學 Higher mathematics 定理 2 . 若 ,)(l i m,)(l i m BxgAxf ??則有 提示 : 利用極限與無窮小關(guān)系定理證明 . 說明 : 定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 . 推論 1 . CAxfCxfC ?? )(lim)](lim [ ( C 為常數(shù) ) 推論 2 . nnn Axfxf ?? ])(lim[)](lim [ ( n 為正整數(shù) ) )()]()([ BAxgxf ??? ABBA ?????? ))((??????? )( BA .0? .)2( 成立?證 : 高 等 數(shù) 學 Higher mathematics 例 例 2. 設(shè) n 次多項式 試證 ).()(lim 00xPxP nnxx ??證 : ?? )(lim 0 xPnxx 高 等 數(shù) 學 Higher mathematics 為無窮小 B2???B1)(1xg? )( 0xx???定理 3 . 若 ,)(lim,)(lim BxgAxf ??且 B≠0 , 則有 證 : 因 ,)(lim,)(lim BxgAxf ??有 ,)(,)( ?? ???? BxgAxf 其中 ??,設(shè) BABA ???? ?? )( 1 ??? BB )( ?? AB ?無窮小 有界 因此 ?由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得 ??? BAxg xf )( )(為無窮小 , 注 limf(x)， limg(x)存在的前提下成立 。 、減、乘運算法則可推廣到有限個函數(shù)情形 . 高 等 數(shù) 學 Higher mathematics .2)(,),(),(,0)(lim0000AxfxUxxUxAxf
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