高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(已修改)
2025-08-17 18:24 本頁面
【正文】 高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題三十八導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 一、知識網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)知與應(yīng)用； 求導(dǎo)公式與運(yùn)算法則的運(yùn)用； 導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用； 導(dǎo)數(shù)在尋求函數(shù)的極值或最值的應(yīng)用； 導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用?！ ∪⒅R要點(diǎn) ?。ㄒ唬?dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念 （1）導(dǎo)數(shù)的定義 ?。á瘢┰O(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 及其附近有定義，當(dāng)自變量x在 處有增量△x（△x可正可負(fù)），則函數(shù)y相應(yīng)地有增量 ，這兩個增量的比 ，叫做函數(shù) 在點(diǎn) 到 這間的平均變化率。如果 時， 有極限，則說函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，并把這個極限叫做 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作 ，即 ?！ 。á颍┤绻瘮?shù) 在開區(qū)間（ ）內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則說 在開區(qū)間（ ）內(nèi)可導(dǎo)，此時，對于開區(qū)間（ ）內(nèi)每一個確定的值 ，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) ，這樣在開區(qū)間（ ）內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這個新函數(shù)叫做 在開區(qū)間（ ）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），記作 或 ， 即 ?！ ≌J(rèn)知： （Ⅰ）函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 是以x為自變量的函數(shù)，而函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 是一個數(shù)值； 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 是 的導(dǎo)函數(shù) 當(dāng) 時的函數(shù)值。 ?。á颍┣蠛瘮?shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)的三部曲： ①求函數(shù)的增量 ； ?、谇笃骄兓?； ③求極限 上述三部曲可簡記為一差、二比、三極限?！ 。?）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) ，是曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率?！ 。?）函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 函數(shù)的可導(dǎo)與連續(xù)既有聯(lián)系又有區(qū)別： （Ⅰ）若函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則 在點(diǎn) 處連續(xù)； 若函數(shù) 在開區(qū)間（ ）內(nèi)可導(dǎo)，則 在開區(qū)間（ ）內(nèi)連續(xù)（可導(dǎo)一定連續(xù)）?！ ∈聦?shí)上，若函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則有 此時， 記 ,則有 即 在點(diǎn) 處連續(xù)。 ?。á颍┤艉瘮?shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，但 在點(diǎn) 處不一定可導(dǎo)（連續(xù)不一定可導(dǎo)）。 反例： 在點(diǎn) 處連續(xù)，但在點(diǎn) 處無導(dǎo)數(shù)。 事實(shí)上， 在點(diǎn) 處的增量 當(dāng) 時， ， ； 當(dāng) 時， ， 由此可知， 不存在，故 在點(diǎn) 處不可導(dǎo)。 求導(dǎo)公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則 ?。?）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（求導(dǎo)公式） 公式1 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （c為常數(shù)），即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0?！ 」? 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ?！ 」? 正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ?！ 」? 余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 公式5 對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ?。á瘢?； （Ⅱ） 公式6 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ?。á瘢?； ?。á颍?。 ?。?）可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)，則有 法則1 ； 法則2 ； 法則3 ?！ ?fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ?。?）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè) ， 復(fù)合成以x為自變量的函數(shù) ，則復(fù)合函數(shù) 對自變量x的導(dǎo)數(shù) ，等于已知函數(shù)對中間變量 的導(dǎo)數(shù) ，乘以中間變量u對自變量x的導(dǎo)數(shù) ， 即 ?！ ∫辏涸O(shè) ， 復(fù)合成函數(shù) ， 則有 （2）認(rèn)知 ?。á瘢┱J(rèn)知復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系循著“由表及里”的順序，即從外向內(nèi)分析：首先由最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出 ，由第一層中間變量 的函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出 ，由第二層中間變量 的函數(shù)結(jié)構(gòu)設(shè)出 ，由此一層一層分析，一直到最里層的中間變量 為自變量x的簡單函數(shù) 為止。于是所給函數(shù)便“分解”為若干相互聯(lián)系的簡單函數(shù)的鏈條： ； ?。á颍┻\(yùn)用上述法則求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題思路 ①分解：分析所給函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，將所給函數(shù)“分解”為相互聯(lián)系的若干簡單函數(shù)； ②求導(dǎo)：明確每一步是哪一變量對哪一變量求導(dǎo)之后，運(yùn)用上述求導(dǎo)法則和基本公式求； ?、圻€原：將上述求導(dǎo)后所得結(jié)果中的中間變量還原為自變量的函數(shù)，并作以適當(dāng)化簡或整理?！ 《?dǎo)數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性 ?。?）導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性： 一般地，設(shè)函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若 為增函數(shù)；若 為減函數(shù)；若在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ，則在這一區(qū)間上為常函數(shù)?！ 。?）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟 ?。á瘢┐_定函數(shù) 的定義域； ?。á颍┣髮?dǎo)數(shù) ； （Ⅲ）令 ，解出相應(yīng)的x的范圍 當(dāng) 時， 在相應(yīng)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng) 時 在相應(yīng)區(qū)間上為減函數(shù)?！ 。?）強(qiáng)調(diào)與認(rèn)知 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要確定函數(shù)的定義域D，并且解決問題的過程中始終立足于定義域D。若由不等式 確定的x的取值集合為A，由 確定的x的取值范圍為B，則應(yīng)用 ； ?。á颍┰谀骋粎^(qū)間內(nèi) （或 ）是函數(shù) 在這一區(qū)間上為增（或減）函數(shù)的充分（不必要）條件。因此方程 的根不一定是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)，并且在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除去確定 的根之外，還要注意在定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，它們也可能是增、減區(qū)間的分界點(diǎn)?！ ∨e例： ?。?） 是R上的可導(dǎo)函數(shù)，也是R上的單調(diào)函數(shù)，但是當(dāng)x=0時， ?！ 。?） 在點(diǎn)x=0處連續(xù)，點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但 在（∞，0）內(nèi)遞減，在（0，+∞）內(nèi)遞增?！ 『瘮?shù)的極值 ?。?）函數(shù)的極值的定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 附近有定義，如果對 附近的所有點(diǎn)，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極大值，記作 ； 如果對 附近的所有點(diǎn)，都有 ，則說 是函數(shù) 的一個極小值，記作 。 極大值與極小值統(tǒng)稱極值 認(rèn)知：由函數(shù)的極值定義可知： ?。á瘢┖瘮?shù)的極值點(diǎn) 是區(qū)間 內(nèi)部的點(diǎn)，并且函數(shù)的極值只有在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)處取得； （Ⅱ）極值是一個局部性概念；一個函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有多個極大值和極小值，并且在某一點(diǎn)的極小值有可能大于另一點(diǎn)處的極大值； （Ⅲ）當(dāng)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)且有有限個極值點(diǎn)時，函數(shù) 在 內(nèi)的極大值
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