高中數(shù)學(xué)函數(shù)的基本性質(zhì)(已修改)
2025-08-17 18:17 本頁(yè)面
【正文】 函數(shù)的基本性質(zhì) 觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律 ： 觀察這三個(gè)圖象，你能說(shuō)出圖象的特征嗎？ 隨 x的增大， y的值有什么變化？ 單調(diào)性與最大（小）值請(qǐng)觀察函數(shù) y=x2與 y=x3圖象，回答下列問(wèn)題：當(dāng) x∈[0 ， +∞) ， x增大時(shí)，圖（ 1）中的 y值 ；圖（ 2）中的 y值 。當(dāng) x∈( － ∞ ， 0)， x增大時(shí)，圖（ 1）中的 y值 ；圖（ 2）中的 y值 。增大 增大增大減小分別指出圖 (1)、圖 (2)中，當(dāng) x ∈[0 ， +∞)和 x∈( － ∞ ， 0)時(shí)，函數(shù)圖象是 上升 的還是下降 的？通過(guò)前面的討論，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論 ：若一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖象是 上升 的，則函數(shù)值 y隨 x的增大而 增大 ，反之亦真； 若一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)圖象是 下降 的，則函數(shù)值 y隨 x的增大而 減小 ，反之亦真。觀察某城市一天 24小時(shí)氣溫變化圖． θ＝ f (t)， t∈ [0， 24] 問(wèn)題： 如何描述氣溫 θ隨時(shí)間 t的變化情況？ (t1,θ1)(t2,θ2)t1 t2問(wèn)題： 在區(qū)間 [4， 14]上，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà) “θ隨 t的增大而增大 ”這一特征？ 如圖，研究函數(shù) θ＝ f(t)， t∈ [0， 24]的圖象在區(qū)間 [4， 14]上的變化情況． 在 [4， 14]上，取幾個(gè)不同的輸入值，例如t1＝ 5， t2＝ 6， t3 ＝ 8， t4＝ 10，得到相對(duì)應(yīng)的輸出值 θ1， θ2， θ3， θ4．在 t1＜ t2＜ t3＜ t4時(shí)，有θ1＜ θ2＜ θ3＜ θ4，所以在 [4， 14]上， θ隨 t的增大而增大． tθO 取區(qū)間內(nèi) n個(gè)輸入值 t1， t2， t3， … ， tn，得到相對(duì)應(yīng)的輸出值 θ1， θ2， θ3， … ， θn，在t1＜ t2＜ t3＜ … ＜ tn時(shí)，有 θ1＜ θ2＜ θ3＜ … ＜ θn，所以在區(qū)間 [4， 14]上， θ隨 t的增大而增大． 在 [4， 14]上任 取 兩個(gè)值 t1， t2，只要 t1＜ t2，就有 θ1＜ θ2，就可以說(shuō)在區(qū)間 [4， 14]上， θ隨 t的增大而增大． 問(wèn)題： 設(shè)函數(shù) y＝ f(x)的定義域?yàn)?A，區(qū)間 I?A,在區(qū)間 I上， y隨 x的增大而增大，該如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)呢？ 在 [4， 14]上內(nèi)任取兩個(gè)值 t1， t2，只要 t1＜ t2，就有 θ1＜ θ2，就可以說(shuō)在區(qū)間 [4， 14]上， θ隨 t的增大而增大． 函數(shù) y＝ f(x)的定義域?yàn)?A，區(qū)間 I?A，如果對(duì)于區(qū)間 I內(nèi)的 任意 兩個(gè)值 x1， x2， 當(dāng) x1＜ x2時(shí)，都有 f(x1)＜ f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 I上是 單調(diào)增函數(shù) ，區(qū)間 I稱為函數(shù) y=f(x)的 單調(diào)增區(qū)間 .問(wèn)題： 如何定義單調(diào)減函數(shù)和單調(diào)減區(qū)間呢？ 函數(shù) y＝ f(x)的定義域?yàn)?A，區(qū)間 I ? A，如果對(duì)于區(qū)間 I內(nèi)的 任意 兩個(gè)值 x1， x2 當(dāng) x1＜ x2時(shí)，都有 f(x1)＞ f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 I上是 單調(diào)減函數(shù) ，區(qū)間 I稱為函數(shù) y=f(x)的 單調(diào)減區(qū)間 . y＝ f(x)， x ∈ [0， 3]的圖象如圖所示．O xy1 2 3區(qū)間 [0， 3]是該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間嗎？概念辨析 f(x)＝ x2，因?yàn)椋?1， 2∈ (－ ∞，＋ ∞)，當(dāng)－ 1＜ 2時(shí)， f(－ 1)＜ f(2)，所以函數(shù)f(x)＝ x2在區(qū)間 (－ ∞，＋ ∞)上是單調(diào)增函數(shù)． y＝ f(x)的定義域?yàn)?[0，＋ ∞)，若對(duì)于任意的 x2＞ 0，都有 f
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