【正文】 第一章 解三角形（一）解三角形：正弦定理：在中，、分別為角、的對(duì)邊，則有(為的外接圓的半徑)正弦定理的變形公式：①，；②，；③；三角形面積公式：．余弦定理：在中，有，推論：基礎(chǔ)練習(xí)一 選擇題1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，則B＝(　　) A．30176。 B．45176。 C．60176。 D．90176。 解析：由2B＝A＋C?3B＝A＋B＋C＝180176。，即B＝60176。，故選C.答案：C△ABC中，若∠A＝60176。，∠B＝45176。，BC＝3，則AC＝(　　) A．4 B．2 C. D.解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝2.答案：B3．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝(　　)A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶∶2 D．2∶∶1解析：設(shè)A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180176。，得6k＝180176。，k＝30176。，∴A＝30176。，B＝60176。 ，C＝90176。，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2.C答案：C4．(2013湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對(duì)的邊長分別為a， B＝b，則角A等于(　　)A. B. C. D.解析：∵＝，∴sin A＝，∵△ABC是鈍角三角形，∴A＝.答案：D5．在△ABC中，如果B＝31176。，a＝20，b＝10，則此三角形(　　)A．有兩解 B．有一解C．無解 D．有無窮多解解析：∵asin B＞b，∴無解．答案：C6．△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60176。，則邊長b為(　　)A．5　　　　　 B．8C．5或－8 D．－5或8解析：由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C，∴49＝9＋b2－3b?(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝.答案：B7．在△ABC中，已知三邊a＝3，b＝5，c＝7，則三角形ABC是(　　)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定解析：何種三角形取決于最大的角．最長的邊所對(duì)的角最大，由余弦定理知：cos C＝＝－＜0，所以C為鈍角，故選C.答案：C8．在△ABC中，有下列結(jié)論：①若a2＞b2＋c2，則△ABC為鈍角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，則∠A為60176。；③若a2＋b2＞c2，則△ABC為銳角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，則a∶b∶c＝1∶2∶(　　)A．1　　　　B．2　　 　C．3　　　　D．4解析：①cos A＝＜0，∴A為鈍角，正確；②cos A＝＝－，∴A＝120176。，錯(cuò)誤；③cos C＝＞0，∴C為銳角，但A或B不一定為銳角，錯(cuò)誤；④A＝30176。，B＝60176。，C＝90176。，a∶b∶c＝1∶∶2，錯(cuò)誤．故選A.答案：A9．在△ABC中，a＝7，b＝8，cos C＝，則最大角的余弦值是(　　)A．－ B．－C．－ D．－解析：由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，所以c＝3，因?yàn)閎＞a＞c，所以角B最大，cos B＝＝－，故選C.答案：C10．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，則的值為(　　)A．－　　 　B．－　　　 C.　　 　D.解析：由余弦定理得：cos ∠CAB＝＝，所以＝32＝.答案：D11．已知在△ABC中，＝，則此三角形為(　　)A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形解析：由＝知＝，化簡得b＝c.答案：C12．在△ABC中，若＝，則角B的值為(　　) A．30176。　　　 B．45176?！?　　C．60176?！?　　D．90176。解析：由＝及正弦定理得：＝，∴＝1，tan B＝∵0176。B180176。，∴B＝45176。，故選B.答案：B13．已知三角形的三邊長分別是a，b，則此三角形中最大的角是(　　)A．30176。 B．60176。 C．120176。 D．150176。解析：∵a，b，∴最大邊是，設(shè)其所對(duì)的角為θ，則cos θ＝＝－，θ＝120176。.答案：C14．在△ABC中，下列關(guān)系式(　　)①asin B＝bsin A?、赼＝bcos C＋ccos B?、踑2＋b2－c2＝2abcos C　④b＝csin A＋asin C一定成立的有(　　)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案：C15.△ABC中，cos A＝－sin A，則A的值為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 解析：解法一：代入檢驗(yàn)，故選D.解法二：由cos A＝－sin A?cos A＋sin A＝?sin A＋cos A＝，∴sin (A＋30176。)＝，∵30176。A＋30176。210176?！郃＋30176。＝60176?；?20176。，故A＝30176?；?0176。，選D.答案：D16．(2013天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝(　　)A. B. C. D.答案：C17．銳角三角形ABC中，sin A和cos B的大小關(guān)系是(　　)A．sin A＝cos B B．sin A＜cos BC．sin A＞cos B D．不能確定解析：在銳角三角形ABC中，A＋B＞90176。，∴A＞90176。－B，∴sin A＞sin(90176。－B)＝cos B．故選C.答案：C18．在△ABC中，B＝60176。，b2＝ac，則△ABC一定是(　　)A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形解析：因?yàn)锽＝60176。，b2＝ac，由余弦定理b2＝a2＋c2－2acos B，得ac＝a2＋c2－ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝△ABC是等邊三角形．答案：D19．在△ABC中，已知＝＝，則△ABC的形狀是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形解析：由正弦定理得：＝＝＝2R，所以a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C由已知得：＝＝，所以＝＝，所以tan A＝tan B＝tan C，可得A＝B＝C，即三角形為等邊三角形．答案：C20．某次測量中，A在B的北偏東55176。，則B在A的(　　)A．北偏西35176?！　　　　　?B．北偏東55176。C．南偏西35176。 D．南偏西55176。[答案]　D[解析]　根據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖，如圖所示．α＝55176。，則β＝α＝55176。.所以B在A的南偏西55176。.故應(yīng)選D．21．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20176。，燈塔B在觀察站C的南偏東40176。，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　)A．a(chǎn) km　　　　　　　　 B．a(chǎn) kmC．a(chǎn) km D．2a km[答案]　B[解析]　∠ACB＝120176。，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)．22．一船向正北航行，看見正西方向有相距10n mlie的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60176。方向上，另一燈塔在船的南偏西75176。方向上，則這艘船的速度是每小時(shí)(　　)A．5n mlie B．5n mlieC．10n mlie D．10n mlie[答案]　C[解析]　如圖，依題意有∠BAC＝60176。，∠BAD＝75176。，∴∠CAD＝∠CDA＝15176。，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴這艘船的速度是＝10(n mlie/h)．23．某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300m和500m，測得燈塔A在觀察站C北偏東30176。，燈塔B在觀察站C正西方向，則兩燈塔A、B間的距離為(　　)A．500m B．600mC．700m D．800m[答案]　C[解析]　根據(jù)題意畫出圖形如圖．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120176。，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120176。＝3002＋5002－2300500(－)＝490 000，∴AB＝700(m)．24．已知A、B兩地的距離為10km，B、C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120176。，則A、C兩地的距離為(　　)A．10km B．kmC．10km D．10km[答案]　D[解析]　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120176。，則由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos∠ABC＝100＋400－21020cos120176。＝100＋400－21020(－)＝700，∴AC＝10，即A、C兩地的距離為10km.25．要直接測量河岸之間的距離(河的兩岸可視為平行)，由于受地理?xiàng)l件和測量工具的限制，可采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選取A、B兩點(diǎn)，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測得∠CAB＝45176。，∠CBA＝75176。，且AB＝120m由此可得河寬為(精確到1m)(　　)A．170m B．98mC．95m D．86m[答案]　C[解析]　在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45176。，∠CBA＝75176。，則∠ACB＝60176。，由正弦定理，得BC＝＝40.設(shè)△ABC中，AB邊上的高為h，則h即為河寬，∴h＝BCsin∠CBA＝40sin75176。≈95(m)26．如圖，從氣球A測得濟(jì)南全運(yùn)會(huì)東荷、西柳個(gè)場館B、C的俯角分別為α、β，此時(shí)氣球的高度為h，則兩個(gè)場館B、C間的距離為(　　)A． B．C．　 D．[答案]　B[解析]　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.27．某工程中要將一長為100 m傾斜角為75176。的斜坡，改造成傾斜角為30176。的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(　　)A．100m　　　　　 B．100mC．50(＋)m D．200m[答案]　A[解析]　如圖，由條件知，AD＝100sin75176。＝100sin(45176。＋30176。)＝100(sin45176。cos30176。＋cos45176。sin30176。)＝25(＋)，CD＝100cos75176。＝25(－)，BD＝＝＝25(3＋)．∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)．28．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45176。，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30176。，并測得水平面上的∠BCD＝120176。，CD＝40m，則電視塔的高度為(　　)A．10m B．20mC．20m D．40m[答案]　D[解析]　設(shè)AB＝xm，則BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos120176。，∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．29．若甲船在B島的正南方A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60176。的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們的航行時(shí)間是(　　)A．min B．hC． D．[答案]　A[解析]　當(dāng)時(shí)間t，如圖．∠CBD＝120176。，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2(10－4t)6tcos120176。＝28t2－20t＋100.當(dāng)t＝＝(h)，即min時(shí)，CD2最小，即CD最小為.當(dāng)t≥，CF＝15，CF2＝CD2，故距離最近時(shí)，t，即t＝min.30．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為45176。和30176。，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30176。角，則兩條船相距(　　)A．10m B．100mC．20m D．30m[答案]　D[解析]　設(shè)炮塔頂A、底D，兩船B、C，則∠ABD＝45176。，∠ACD＝30176。，∠BDC＝30176。，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DBDCcos30176。＝900，∴BC＝30.31．如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45176。，沿傾斜角為30176。的山坡向山頂走1 000m到達(dá)S點(diǎn)，又測得山頂仰角∠DSB＝75176。，則山高BC為(　　)A．500m B．200mC．1 000m D．1 000m[答案]　D[解析]　∵∠SAB＝45176。－30176。＝15176。，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45176。－(90176。－75176。)＝30176。，在△ABS中，AB＝＝＝1 000，∴BC＝ABsin45176。＝1 000＝1 000(m)．二 填空題1．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠C的大小為________．解析：利用正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求解．在△ABC中，由正弦定理可知＝，即sin B＝＝＝.又∵ab，∴∠B＝.∴∠C＝π－∠A－∠B＝.答案：2．在△ABC中，若B＝30176。，AB＝2，AC＝2，則AB邊上的高是________．解析：由正弦定理，＝，∴sin C＝＝＝，∴C＝60176。或120176。，①當(dāng)C＝60176。時(shí)，A＝90176。，AB邊上的高為2；②當(dāng)C＝120176。時(shí)，A＝30176。，AB邊上的高為2sin 30176。＝1.答案：1或23．在銳角ABC中，若a＝3，b＝3，則邊長c的取值范圍是________．解析：因?yàn)閎＞a，所以只要∠B，∠C為銳角即可，只要cos B＞0，cos C＞0.答案：4．三角形的一邊長為14，這條邊所對(duì)的角為60176。，另兩邊長之比為8∶5，則這個(gè)三角形的面積是________．解析：設(shè)另兩邊長分別為8x,5x(x0)，則cos 601