【正文】 1 高一數(shù)理化知識(shí)點(diǎn)集結(jié)號(hào) 高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié) 必修一 一、集合 一、集合有關(guān)概念 1. 集合的含義 2. 集合的中元素的三個(gè)特性： (1)元素的確定性如：世界上最高的山 (2)元素的互異性如：由 HAPPY 的字母組成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的無(wú)序性 : 如： {a,b,c}和 {a,c,b}是表示同一個(gè)集合 ： { … } 如： {我校的籃球隊(duì)員 }， {太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 } (1)用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A={ 我 校 的 籃 球 隊(duì)員 },B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列舉法與描述法。 ? 注意：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（ 即自然數(shù)集） 記作： N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實(shí)數(shù)集 R 1） 列舉法： {a,b,c…… } 2） 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。 {x?R| x32} ,{x| x32} 3） 語(yǔ)言描述法：例： {不是直角三角形的三角形 } 4） Venn 圖 : 集合的分類： (1)有限集 含有有限個(gè)元素的集合 (2)無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例： {x|x2=－ 5｝ 二、集合間的基本關(guān)系 1.?包含?關(guān)系 — 子集 注意： BA? 有兩種可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2）A與 B是同一集合。 反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,記作 A?? B 或 B?? A 2．?相等?關(guān)系： A=B (5≥ 5，且 5≤ 5，則 5=5) 實(shí)例：設(shè) A={x|x21=0} B={1,1} ?元素相同則兩集合相等? 即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。 A?A 2 ②真子集 :如果 A?B,且 A? B那就說(shuō)集合 A是集合 B的真子集，記作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同時(shí) B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為 Φ 規(guī)定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n個(gè)元素的集合，含有 2n個(gè)子集， 2n1個(gè)真子集 二、函數(shù) 函數(shù)定義域、值域求法綜合 2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問(wèn)題的解題策略 恒成立問(wèn)題的求解策略 反函數(shù)的幾種題型及方法 二次函數(shù)根的問(wèn)題 —— 一題多解 amp。指數(shù)函數(shù) y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a0,a、 b屬于 Q) (a^a)^b=a^ab(a0,a、 b屬于 Q) (ab)^a=a^a*b^a(a0,a、 b 屬于 Q) 指數(shù)函數(shù)對(duì)稱規(guī)律： 函數(shù) y=a^x 與 y=a^x關(guān)于 y 軸對(duì)稱 函數(shù) y=a^x 與 y=a^x 關(guān)于 x 軸對(duì)稱 函數(shù) y=a^x 與 y=a^x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 amp。對(duì)數(shù)函數(shù) y=loga^x 如果 0?a ，且 1?a ， 0?M ， 0?N ，那么： ○1 Ma(log ?)N Malog ＋ Nalog ； ○2 ?NMalog Malog－ Nalog ； ○3 naMlog n? Malog )( Rn? ． 注意：換底公式 abb cca logloglog ? （ 0?a ，且 1?a ； 0?c ，且 1?c ；0?b ）． 冪函數(shù) y=x^a(a 屬于 R) 冪函數(shù)定義：一般地，形如 ?xy? )( Ra? 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 ? 為常數(shù)． 冪函數(shù)性質(zhì)歸納． （ 1）所有的冪函數(shù)在（ 0， +∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（ 1， 1）； （ 2） 0?? 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間),0[ ?? 上是增函數(shù)．特別地，當(dāng) 1?? 時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 10 ??? 時(shí)，冪函數(shù)的 圖象上凸； 3 （ 3） 0?? 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間 ),0( ?? 上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng) x 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在 y 軸右方無(wú)限地逼近 y 軸正半軸，當(dāng) x 趨于 ?? 時(shí)，圖象在 x軸上方無(wú)限 地逼近 x 軸正半軸． 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù) ))(( Dxxfy ?? ，把使0)( ?xf 成立的 實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) ))(( Dxxfy ?? 的零點(diǎn)。 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù) )(xfy? 的零點(diǎn)就是方程0)( ?xf 實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 即：方程 0)( ?xf 有實(shí)數(shù)根 ? 函數(shù) )(xfy? 的圖象與 x軸有交點(diǎn) ? 函數(shù) )(xfy? 有零點(diǎn)． 函數(shù)零點(diǎn)的求法： ○1 （代數(shù)法）求方程 0)( ?xf 的實(shí)數(shù)根； ○2 （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) )(xfy? 的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) )0(2 ???? acbxaxy ． （ 1）△＞０，方程 02 ??? cbxax 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． （ 2）△＝０，方程 02 ??? cbxax 有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)． （ 3）△＜０，方程 02 ??? cbxax 無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)． 三、平面向量 向量：既有大小，又有方向的量． 數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量． 有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度． 零向量：長(zhǎng)度為 0 的向量． 單位向量：長(zhǎng) 度等于 1個(gè)單位的向量． 相等向量：長(zhǎng)度相等且 方向相同 的向量 amp。向量的運(yùn)算 加法運(yùn)算 AB＋ BC＝ AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。 已知兩個(gè)從同一點(diǎn) O出發(fā)的兩個(gè)向量 OA、 OB，以 OA、 OB為鄰邊作平行四邊形 OACB，則以 O為起點(diǎn)的對(duì)角線 OC就是向量 OA、 OB 的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。 對(duì)于零向量和任意向量 a，有： 0＋ a＝ a＋ 0＝ a。 4 |a＋ b|≤ |a|＋ |b|。 向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。 減法運(yùn)算 與 a 長(zhǎng)度相等， 方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，－ (－ a)＝ a，零向量的相反向量仍然是零向量。 （ 1） a＋ (－ a)＝ (－ a)＋ a＝ 0（ 2） a－ b＝ a＋ (－ b)。 數(shù)乘運(yùn)算 實(shí)數(shù)λ與向量 a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λ a， |λ a|＝ |λ ||a|，當(dāng)λ 0 時(shí)，λ a的方向和 a的方向相同，當(dāng)λ 0 時(shí)，λ a 的方向和 a的方向相反，當(dāng)λ = 0 時(shí)，λ a = 0。 設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（ 1） (λμ )a = λ (μ a)（ 2） (λ μ )a = λ a μ a（ 3）λ (a 177。 b) = λ a 177。 λ b（ 4） (－λ )a =－ (λ a) = λ (－ a)。 向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。 向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量 a、 b，那么 |a||b|cos θ叫做 a 與 b 的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是 a與 b的夾角， |a|cos θ（ |b|cos θ）叫做向量 a在 b方向上（ b在 a 方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為 0。 a?b的幾何意義：數(shù)量積 a?b等于 a的長(zhǎng)度 |a|與 b在 a的方向上的投影 |b|cos θ的乘積。 兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。 四、三角函數(shù) 善于用? 1?巧解題 三角問(wèn)題的 非三角化解題策略 三角函數(shù)有界性求最值解題方法 三角函數(shù)向量綜合題例析 三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法 1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： sinyx? cosyx? tanyx? 圖象 定義 R R ,2x x k k????? ? ? ????? 函 數(shù) 性 質(zhì) 5 域 值域 ? ?1,1? ? ?1,1? R 最值 當(dāng) 22xk????? ?k??時(shí)， max 1y ? ；當(dāng)2 2xk???? ? ?k?? 時(shí)， min 1y ?? ． 當(dāng) ? ?2x k k?? ??時(shí)， max 1y ? ；當(dāng) 2xk???? ? ?k?? 時(shí)， min 1y ?? ． 既無(wú)最大值也無(wú)最小 值 周期性 2? 2? ? 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在 2 , 222kk???????????? ? ?k?? 上是增函數(shù)；在 32 , 222kk???????????? ? ?k?? 上是減函數(shù)． 在 ? ?? ?2 , 2k k k? ? ?? ? ?上是增函數(shù)；在? ?2 , 2kk? ? ?? ? ?k?? 上是減函數(shù)． 在 ,22kk???????????? ? ?k?? 上是增函數(shù)． 對(duì)稱性 對(duì)稱中心? ?? ?,0kk? ?? 對(duì)稱軸? ?2x k k??? ? ? ? 對(duì)稱中心? ?,02kk????? ? ????? 對(duì)稱軸 ? ?x k k?? ?? 對(duì)稱中心? ?,02k k????????? 無(wú)對(duì)稱軸 必修四 角 ? 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱 ? 為第幾象限角． 第一象限角的集合為 ? ?3 6 0 3 6 0 9 0 ,k k k??? ? ? ? ? ? ? 第二象限角的集合為 ? ?3 6 0 9 0 3 6 0 1 8 0 ,k k k? ? ? ? ? ? ? ? 第三象限角的集合為 ? ?3 6 0 1 8 0 3 6 0 2 7 0 ,k k k??? ? ? ? ? ? ? ? 第四象限角的集合為 ? ?3 6 0 2 7 0 3 6 0 3 6 0 ,k k k? ? ? ? ? ? ? ? 終邊在 x 軸上的角的集合為 ? ?18 0 ,kk?? ? ? ? ? 終邊在 y 軸上的角的集合為 ? ?1 8 0 9 0 ,kk?? ? ? ? ? ? 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為 ? ?90 ,kk?? ? ? ? ? 6 與角 ? 終邊相同的角的集合為 ? ?3 6 0 ,kk? ? ?? ? ? ? ? 已知 ? 是第幾象限角，確定 ? ?*nn? ??所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再?gòu)?x 軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則 ? 原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為n?終邊所落在的區(qū)域． 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓 心角叫做 1弧度． 口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限． 公式一設(shè)α為任意角，π α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π＋α）＝－ sinα cos（π＋α）＝－ cosα tan（π＋α）＝ tanα cot（π＋α）＝ cotα ： 公式二： 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（ 2kπ＋α）＝ sinα cos（ 2kπ＋α）＝ cosα tan（ 2kπ＋α）＝ tanα cot（ 2kπ＋α）＝ cotα 公式三：利用公式二和公式三可 以得到π α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π－α）＝ sinα cos（π－α）＝－ cosα tan（π－α）＝－ tanα cot（π－α）＝－ cotα 公式四：任意角α與 α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（－α）＝－ sinα cos（－α）＝ cosα tan（－α）＝－ tanα cot（－α）＝－ cotα 公式五： 7 利用公式一和公式三可以得到 2π α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（ 2π－α）＝－ sinα cos（ 2π－α）＝ cosα tan（ 2π－α）＝－ tanα cot（ 2π－α ）＝－ cotα 公式六： π /2177。α及 3π /2177。α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π /2＋α）＝ cosα cos（π /2＋α）＝－ sinα tan（π /2＋α）＝－ cotα cot（π /2＋α）＝－ tanα sin（π /2－α）＝ cosα cos（π /2－α）＝ sinα tan（π /2－α）＝ cotα cot（π /2－α）＝ tanα sin（ 3π /2＋α）＝－ cosα cos（ 3π /2＋α）＝ sinα tan