坐標(biāo)系與參數(shù)方程(已修改)
2025-08-13 17:24 本頁(yè)面
【正文】 Ⅰ B 部分 第十四章 系列 4 選講 167。 1 4 . 1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí) 要點(diǎn)梳理 1 ．極坐標(biāo)系是由距離 ( 極徑 ) 確定位置的一種方法，由于終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)且極徑可以為負(fù)數(shù)，故在極坐標(biāo)系下，有序?qū)崝?shù)對(duì) ( ρ ，θ ) 與平面上的點(diǎn)不一一對(duì)應(yīng)，應(yīng)與直角坐標(biāo)系區(qū)分開(kāi)． 2 ．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，平面內(nèi)任意一點(diǎn) P 的直角坐標(biāo)( x ， y ) 與極坐標(biāo) ( ρ ， θ ) 可以互化，公式：????? x ＝ ρ c o s θy ＝ ρ s i n θ，????? ρ2＝ x2＋ y2ta n θ ＝y(tǒng)x. 3 ． 一些常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程 ( 1) 過(guò)點(diǎn) P0( x0， y0) ，且傾斜角為 α 的直線的參數(shù)方程為 ( t 為參數(shù) ) ． ( 2) 圓的方程 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ r2的參數(shù)方程為 ( θ 為參數(shù) ) ． ( 3) 橢圓方程x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 的參數(shù)方程為 ( θ 為參數(shù) ) ． ( 4) 拋物線方程 y2＝ 2 px ( p 0) 的參數(shù)方程為 ( t 為參數(shù) ) ． ????? x ＝ x 0 ＋ t c o s αy ＝ y 0 ＋ t s i n α ????? x ＝ a ＋ r c o s θy ＝ b ＋ r s i n θ ????? x ＝ a c o s θy ＝ b s i n θ ????? x＝ 2 pt 2y＝ 2 pt [ 難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源 ] 1 ． 對(duì)極坐標(biāo)的理解 在極坐標(biāo)系下，有序?qū)崝?shù)對(duì) ( ρ ， θ ) 與 平面上的點(diǎn)并不一一對(duì)應(yīng)，但若限制 ρ 0 , 0 ≤ θ 2 π ，則除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是唯一確定的 ． 2 ． 參數(shù)方程與普通方程的互化 參數(shù)方程通過(guò)代入消元或加減消元 消去參數(shù)化為普通方程時(shí)，不要忘了 x 、 y 的范圍 ． 基礎(chǔ)自測(cè) 1 ． 把 曲線的極坐標(biāo)方程 ρ ＝ 4 s i n θ 化為直角坐標(biāo)方程 ． 解析 由 ρ ＝ 4 s i n θ 得 ρ2＝ 4 ρ s i n θ . 又????? ρ2＝ x2＋ y2ρ s i n θ ＝ y， ∴ x2＋ y2＝ 4 y ，即 x2＋ ( y － 2)2＝ 4. 2 ．設(shè)直線參數(shù)方程為????? x ＝ 2 ＋t2y ＝ 3 －32t ( t 為參數(shù) ) ，求 它的截距式方程 ． 解析 把直線參數(shù)方程????? x ＝ 2 ＋t2y ＝ 3 －32t， 化為直角坐標(biāo)方程為 3 x ＋ y ＝ 9 ， ∴x3＋y9＝ 1. 3 ．若直線 3 x ＋ 4 y ＋ m ＝ 0 與圓????? x ＝ 1 ＋ c o s θ ，y ＝－ 2 ＋ s i n θ ( θ 為參數(shù) ) 沒(méi)有公共點(diǎn)， 求 實(shí)數(shù) m 的取值范圍 ． 解析 由圓的參數(shù)方程可知其標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( x －1)2＋ ( y ＋ 2)2＝ 1 ，直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，即圓心 (1 ，－ 2) 到 直 線 的距 離 大 于 半 徑， 即 d ＝|3 1 ＋ 4 ( － 2 ) ＋ m |32＋ 421 ， 解得 m 0 或 m 10 . 4 ． 求 直線 l ：????? x ＝ 1 － 2 ty ＝
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