中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新性、開放性研討講座(已修改)
2025-08-13 15:35 本頁面
【正文】 中考數(shù)學(xué) 創(chuàng)新型、開放型問題 探究講座 例 ：(在橫線上填“ ”、“ ”、“ =”) (1)42+32____2 4 3 (2)(2)2+12___2 (2) 1 (3) (4)22+22____2 2 2 通過觀察歸納，寫出能反映這種規(guī)律的一般結(jié)論，并加以證明 2122)21()2( 22 ??????(1) (2) (3) (4) = 結(jié)論：對于任意兩個實(shí)數(shù) a和 b，一定有 a2+b2≥2ab 證明： ∵ (ab)2≥0， 即 a22ab+b2≥0， ∴ a2+b2≥2ab 例 ：已知△ ABC為⊙ O的內(nèi)接三角形， ⊙ O1過 C點(diǎn)與 AC交點(diǎn) E， 與⊙ O交于點(diǎn) D， 連結(jié) AD并延長與 ⊙ O1交于點(diǎn) F與 BC的延長線交于點(diǎn) G， 連結(jié)EF,要使 EF∥ CG，△ ABC應(yīng)滿足什么條件？請補(bǔ)充上你認(rèn)為缺少的條件后，證明 EF∥ GC(要求補(bǔ)充的條件要明確，但不能 多余 ) 分析：要使 EF∥ GC，需知 ∠ FEC=∠ ACB，但從圖中可知 ∠ FEC=∠ FDC， ∠ FDC=∠ B，所以 ∠ FEC=∠ B，故當(dāng) ∠ B=∠ ACB時，可得證EF∥ GC 要使 EF∥ GC，△ ABC應(yīng)滿足 AB=AC或∠ ABC=∠ ACB 證明：連結(jié) DC， 則∠ FDC=∠ FEC，∠ FDC=∠ B，∴∠ FEC=∠ B，∵∠ B=∠ ACB，∴∠ FEC=∠ ACB，∴ EF∥ GC 例 ：已知 ⊙ O1與 ⊙ O2相交于 ，經(jīng)過 A點(diǎn)的直線分別交 ⊙ O1.⊙ O2于 ( B重合 ).連結(jié) BD， 過 C點(diǎn)作 BD的平行線交 ⊙ O1于點(diǎn) E， 連結(jié) BE (1)求證： BE是 ⊙ O2的切線 (2)如圖 2，若兩圓圓心在公 共弦 AB的同側(cè)，其他條件不 變，判斷 BE與 ⊙ O2的位置關(guān) 系 (不要求證明 ) (3)若點(diǎn) C為劣弧 AB的中點(diǎn)，其他條件不變，連結(jié)， AB與 CE交于點(diǎn) F， 如圖 3 寫出圖中所有的相似三角形 (不另外連線，不要求證明 ) 要證 BE是 ⊙ O2的切線，需知∠ EBO2=90176。 ，不妨過 B點(diǎn)作⊙ O2的直徑 BF交 ⊙ O2于 F點(diǎn)，則 ∠ BAF=90176。 ，即∠ F+∠ ABF=90176。 ，∵∠ F=∠ ADB，∠ EBO2=∠ EBA+∠ ABF，要知 ∠ EBO2=90176。 ，需知∠ ABE=∠ ADB，但∠ ABE=∠ ACE，由 EC∥ BD，得 ∠ ACE=∠ ADB，故∠ ABE=∠ ADB得證，從而知∠ EBO2=90176。 ，因此 BE是⊙ O2的切線 證明：作直徑 BF交 ⊙ O2于 F ，連結(jié) AB、 AF，則 ∠ BAF=90176。 ， 即 ∠ F+∠ ABF=90176。 ?！摺?F=∠ ADB，∴∠ ABF+∠ ADB=90176。 ?！?EC∥ BD， ∴∠ ACE=∠ ADB，又 ∠ ACE=∠ ABE，∴∠ ABE=∠ ADB，故∠ ABF+∠ ABE=90176。 ，即∠ EBO2=90176。 ， ∴ EB⊥ BO2，∴ EB是 ⊙ O2的切線 (2)分析：猜想 EB與 ⊙ O2的關(guān)系是相切的 仍作 ⊙ O2的直徑 BF，則∠ FAB=90176。 ，同時∠ FAD+∠ FBD=180176。 ，∴∠ BAC+∠ FBD=90176。 ?，F(xiàn)只需要得知 ∠ FBE=90176。 即可。由CE∥ BD可知，∠ CEB+∠ DBE=180176。 ，又，∠ CEB=∠ BAC，∴∠ BAC+∠ EBD=180176。 ，∴∠ EBD∠ FBD=90176。 ，即∠ FBE=90176。 ，故 EB與 ⊙ O2是相切的 證明：作 ⊙ O2的直徑 BF交 ⊙ O2于 F，則∠ FAB=90176。 且 ∠ FAD+∠ FBD=180176。 ，∴∠ BAD+∠ FBD=90176。 。但 ∠ BAD=∠ CEB，故∠ CEB+∠ FBD=90176。 。 ∵ CE∥ DB，∴∠ CEB+∠ EBD=180176。 ， ∴∠ EBD∠ FBD=90176。 ，即 ∠ FBE=90176。 ， ∴ EB是 ⊙ O2的切線 證明 ∵ EC∥ DB，∴∠ ACE=∠ ADB，又∠ ACE=∠ ABE，∴∠ ACE=∠ ADB=∠ ABE?！?C是劣弧 AB的中點(diǎn)，∴∠ BAC=∠ BEC=∠ AEC，∴ △ AFC∽ △ ABD∽ △ EAC∽ △ EFB (3)若點(diǎn) C為劣弧 AB的中點(diǎn)，其他條件不變，連結(jié) ， AB與 CE交于點(diǎn) F， 如圖 3 寫出圖中所有的相似三角形 (不另外連線，不要求證明） 例 13的 ⊙ O1經(jīng)過原點(diǎn) O， 并且與 x軸、 y軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，線段 OA、 OB(OAOB)的長分別 是方程 x2+kx+60=0的兩個根 (1)求線段 OA、 OB的長 (2)已知點(diǎn) C在劣弧
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