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2025-08-07 03:43 本頁面
【正文】 新新數(shù)學手冊167。3 微 分一、單變量函數(shù)的微分 1. 基本概念[導數(shù)的定義及其幾何意義] 設函數(shù)y=f(x)當自變量在點x有一改變量時,函數(shù)y相應地有一改變量 ,那末當趨于零時,若比的極限存在(一確定的有限值)，則稱這個極限為函數(shù)f(x)在點x的導數(shù),記作這時稱函數(shù)f(x)在點x是可微分的函數(shù)(或稱函數(shù)f(x)在點x可微)。在幾何上,函數(shù)f(x)的導數(shù)是函數(shù)y=f(x)表示的曲線在點x的切線的斜率,即=式中α為曲線在點x的切線與x軸的夾角()。 [單邊導數(shù)]=及=分別稱為函數(shù)f(x)在點x的左導數(shù)和右導數(shù)。導數(shù)存在的充分必要條件是:= [無窮導數(shù)] 若在某一點x有=177?！迍t稱函數(shù)f(x)在點x有無窮導數(shù)。這時函數(shù)y=f(x)的圖形在點x的切線與x軸垂直(當=+∞時,函數(shù)f(x)的圖形在點x的切線正向與y軸方向一致,當=－∞時,方向相反)。 [函數(shù)的可微性與連續(xù)性的關系] 如果函數(shù)y=f(x)在點x有導數(shù)，那末它在點x一定連續(xù)。反之,連續(xù)函數(shù)不一定有導數(shù),例如 1176。 函數(shù)y=|x|在點x=0連續(xù),在點x=0,左導數(shù)=－1,右導數(shù) =1,而導數(shù)不存在()。 2176?！『瘮?shù) y=f(x)= 在點x=0連續(xù),但在點x=0左右導數(shù)都不存在()。 2. 求導數(shù)的基本法則[四則運算求導公式] 若c為常數(shù),函數(shù)u=u(x), 都有導數(shù),則 =0 =c （≠0）[復合函數(shù)的導數(shù)] 若y=f(u),u=都有導數(shù),則=[反函數(shù)的導數(shù)] 如果函數(shù)y=f(x)在點x有不等于零的導數(shù),并且反函數(shù)x=f－1(y)在點y連續(xù),那末 存在并且等于，即=[隱函數(shù)的導數(shù)] 假定函數(shù)F(x,y)連續(xù),并且對于每個自變量都有連續(xù)的偏導數(shù),而且，則由F(x,y)=0所決定的函數(shù)y=f(x)的導數(shù)=＝式中＝，＝(見本節(jié)，四)。[用參數(shù)表示的函數(shù)的導數(shù)] 設方程組?。é羣β）式中和為可微分的函數(shù),且,則由隱函數(shù)存在定理(本節(jié),四,1)可把y確定為x的單值連續(xù)函數(shù)y=而函數(shù)的導數(shù)可用公式＝求得。[用對數(shù)求導數(shù)法] 求一函數(shù)的導數(shù),有時先取其對數(shù)較為便利,然后由這函數(shù)的對數(shù)求其導數(shù)。例 求的導數(shù)。解 兩邊各取對數(shù),得lny=pln(x－a)＋qln(x－b)－rln(x－c)左邊的lny為y的函數(shù),而y又為x的函數(shù),故應用求復合函數(shù)的導數(shù)的法則得到由此得所以[函數(shù)的微分] 若函數(shù)y=f(x)的改變量可表為＝A(x)dx+o(dx)式中dx=Δx，則此改變量的線性主部
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