section3-(更新版)
【正文】 量的線性主部A(x)dx稱為函數(shù)y的微分,記作dy=A(x)dx函數(shù)y=f(x)的微分存在的充分必要條件是:函數(shù)存在有限的導(dǎo)數(shù)=,這時(shí)函數(shù)的微分是dy=dx上式具有一階微分的不變性,即當(dāng)自變量x又是另一自變量t的函數(shù)時(shí),上面的公式仍然成立.[高階導(dǎo)數(shù)] 函數(shù)y=f(x)的高階導(dǎo)數(shù)由下列關(guān)系式逐次地定義出來(lái)(假設(shè)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算都有意義)： = [高階微分] 函數(shù)y=f(x)的高階微分由下列公式逐次定義：= =及 [萊布尼茨公式] 若函數(shù)u=及=有n階導(dǎo)數(shù)(可微分n次),則式中,為二項(xiàng)式系數(shù)。反之,連續(xù)函數(shù)不一定有導(dǎo)數(shù),例如 1176。 新新數(shù)學(xué)手冊(cè)167。 [函數(shù)的可微性與連續(xù)性的關(guān)系] 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x有導(dǎo)數(shù)，那末它在點(diǎn)x一定連續(xù)。例 求的導(dǎo)數(shù)。 若僅求樣點(diǎn)xi上的導(dǎo)數(shù),則 ≈=≈=二、多變量函數(shù)的微分[偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義] 設(shè)二元函數(shù)u=f(x,y)當(dāng)變量x有一個(gè)改變量Δx而變量y保持不變時(shí),得到一個(gè)改變量Δu=f(x+Δx,y)－f(x,y)如果當(dāng)Δx→0時(shí),極限=存在,那末這個(gè)極限稱為函數(shù)u=f(x,y)關(guān)于變量x的偏導(dǎo)數(shù),記作或,也記作或,即=====類似地,可以定義二元函數(shù)u=f(x,y)關(guān)于變量y的偏導(dǎo)數(shù)為=====偏導(dǎo)數(shù)可以按照單變量函數(shù)的微分法則求出,只須對(duì)所論變量求導(dǎo)數(shù),其余變量都看作常數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如下:二元函數(shù)u=f(x,y)表示一曲面,通過(guò)曲面上一點(diǎn)M(x,y,u)作一平行于Oxu平面的平面,與曲面有一條交線,就是這條曲線在該點(diǎn)的切線與x軸正向夾角的正切,即=.同樣,有= ().偏導(dǎo)數(shù)的定義不難推廣到多變量函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)的情形.[偏微分] 多變量函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)對(duì)其中一個(gè)變量(例如x1 )的偏微分為也可記作.[可微函數(shù)與全微分] 若函數(shù)u=f(x,y)的全改變量可寫為=+式中A,B與Δx,Δy無(wú)關(guān),則稱函數(shù)u=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分(或可微),這時(shí)函數(shù)u=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù),一定存在,而且=A, =B改變量Δu的線性主部=+dy稱為函數(shù)u=f(x,y)的全微分,記作du=+dy (1)函數(shù)在一點(diǎn)可微的充分條件:如果在點(diǎn)(x,y)函數(shù)u=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在而且連續(xù),那末函數(shù)在該點(diǎn)是可微的.公式(1)具有一階微分的不變性,即當(dāng)自變量x,y又是另外兩個(gè)自變量t,s的函數(shù)時(shí),上面的公式仍然成立.上述結(jié)果不難推廣到多變量函數(shù)u=f(x1,x2,…,xn)的情形.注意,在一個(gè)已知點(diǎn),偏導(dǎo)數(shù)的存在一般說(shuō)來(lái)還不能確定微分的存在.[復(fù)合函數(shù)的微分法與全導(dǎo)數(shù)]1176。2176
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